iMatek

2025 központi felvételi matematika

Picture of A iMatek világa

A iMatek világa

A sikeres tanuláshoz nem csak a tudásra van szükség.

2025-1

Oszd meg, ha tetszik!

2025 matek központi matek felvételi 9. évfolyamra

A Nim játék egy ősi stratégiai játék, amely a kombinatorikus játékelmélet fontos példája. Ebben a posztban bemutatjuk a Nim játék történeti hátterét, a játékszabályokat, a játék során alkalmazandó stratégiákat, valamint részletesen tárgyaljuk a Nim-összeg fogalmát. A játékban nyerő helyzetek kiszámítása a Nim-összeg segítségével történik, amely lehetővé teszi, hogy a játékosok kiszámítsák a legjobb lépést minden helyzetben.
A Nim játék eredete nem teljesen ismert, de évszázadok óta játszották különböző formákban a világ számos részén. A játék modern változatának matematikai elemzését Charles L. Bouton készítette el 1901-ben, aki először dolgozta ki a nyerő stratégiát, és bevezette a Nim-összeg fogalmát. A játék érdekes módon kapcsolatban áll a digitális rendszerekkel, mivel a stratégia kulcsa a kettes számrendszerben végzett műveletek alkalmazása.
A Nim játékszabályai
A Nim játékban az alábbi alapvető szabályok érvényesek:
  1. A játékosok előtt több sorban különböző számú elemek találhatók (például korongok, kövek, stb.).
  2. Két játékos felváltva lép.
  3. Egy lépésben egy sorból a játékos tetszőleges számú elemet eltávolíthat (akár egyet, akár az összeset).
  4. A játék addig tart, amíg minden elem el nem fogy.
  5. Az a játékos veszít, aki az utolsó elemet eltávolítja.

Az i által készített nem hivatalos megoldások. (folyamatosan frissítjük)

1. Határozd meg az A, B, C és D értékét!
\[ \begin{aligned} \frac{A}{4}&=10,25\quad/\cdot 4\\ A&=10,25\cdot 4\\ A&=4\cdot 10\frac{1}{4}\\ A&=41 \end{aligned}\notag \]
\(B\) az \(1; 2; 4; 8; 10\) számok átlaga
\[ \begin{aligned} B&=\frac{1+2+4+8+10}{5}\\ B&=\frac{25}{5}\\ B&=5\\ \end{aligned}\notag \]
\(C\) az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek \(1; 2; 4; 5\) és \(6\) is osztója.
Akár párosával is kereshetjük a legkisebb közös többszöröst, akár prímtényezős felbontás alapján is számolhatunk.
\[ \begin{aligned} \phantom{}[1;2]&=2\\ [2;4]&=4\\ [4;5]&=20\\ [20;6]&=[2^2\cdot 5; 2\cdot 3]=60=C\\ \end{aligned}\notag \]
\(D\) a \(\dfrac{3}{4}\)-nek a \(\dfrac{4}{5}\) része
\[ \begin{aligned} D&=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}\\ D&=\frac{3\cdot \cancel 4}{\cancel 4\cdot 5}\\ D&=\frac{3}{5}\\ \end{aligned}\notag \]
2. Tedd igazzá az alábbi egyenlőségeket a hiányzó mérőszámok beírásával!
\[ \begin{aligned}7 \;liter\; – 250\; cm^3 &= 7\;dm^3-250\; cm^3=7.000\;cm^3-250\;cm^3=6.750\;cm^3\\ \end{aligned}\notag \]
\[ \begin{aligned} 2\;h\unicode{x00e9}t\;+\ldots \unicode{x00f3}ra&=17\;nap\\ 14\;nap\;+\ldots \unicode{x00f3}ra&=17\;nap\\ 14\;nap\;+3\;nap\cdot 24\; \unicode{x00f3}ra&=17\;nap\\ 14\;nap\;+72\; \unicode{x00f3}ra&=17\;nap\\ \end{aligned}\notag \]
\[ \begin{aligned} \ldots\; cm + 2,4\; dm = 17,5\; dm &= \ldots\; mm\\ 15,1\;dm\cdot 10\; cm + 2,4\; dm = 17,5\; dm &= \ldots\; mm\\ 151\; cm + 2,4\; dm = 17,5\; dm &= \ldots\; mm\\ 151 cm + 2,4\; dm = 17,5\; dm &= 17,5\cdot 100\; mm\\ 151\; cm + 2,4\; dm = 17,5\; dm &= 1750 \; mm\\ \end{aligned}\notag \]
3. Van négy borítékunk. Az első borítékra A betűt, a másodikra B betűt, a harmadikra C betűt és a negyedikre D betűt írtunk. Van négy betűkártyánk is \(A;B;C;D\).
Minden borítékba egy-egy betűkártyát teszünk úgy, hogy pontosan egy olyan boríték legyen, ahol a benne lévő betűkártyán ugyanaz a betű szerepel, mint a borítékon!
A lehetséges elrendezéseket olyan táblázatban ábrázoltuk, ahol a felső sor a borítékokat, az alsó sor a betűkártyákat jelöli. Példaként megadtunk egy elrendezést.
a) Írd be az alábbi táblázatokba a példaként megadottól különböző, de a feltételeknek megfelelő összes lehetséges elrendezést!
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A&B&C&D\\ \hline \color{red}{A}&C&D&B\\ \hline \end{array}\notag \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A&B&C&D\\ \hline \color{red}{A}&D&B&C\\ \hline \end{array}\notag \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A&B&C&D\\ \hline C&\color{red}{B}&D&A\\ \hline \end{array}\notag \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A&B&C&D\\ \hline D&\color{red}{B}&A&C\\ \hline \end{array}\notag \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A&B&C&D\\ \hline B&D&\color{red}{C}&A\\ \hline \end{array}\notag \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A&B&C&D\\ \hline D&A&\color{red}{C}&B\\ \hline \end{array}\notag \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A&B&C&D\\ \hline B&C&A&\color{red}{D}\\ \hline \end{array}\notag \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A&B&C&D\\ \hline C&A&B&\color{red}{D}\\ \hline \end{array}\notag \]
4. Egy iskolában megkérdezték a 8. osztályos diákokat, hogy milyen tevékenységgel töltik legszívesebben a szabadidejüket. A válaszokat egy kördiagramon ábrázolták.
a) Töltsd ki az alábbi táblázat hiányzó adatait!
Az első sor adataiból kiszámítható, hogy \(10\) diákhoz \(\dfrac{135°}{3}=45°\) tartozik a kördiagramban. Ehhez az értékhez arányosíthatunk a hiányzó adatok kiszámításához.
Tevékenység Diákok száma (fő) Középponti szög
Sport \(30\) \(135°\)
Olvasás \(20\) \(\boldsymbol{\color{green}{90°}}\)
Zenehallgatás \(15\) \(67,5°\)
Számítógépes játékok \(10\) \(\boldsymbol{\color{green}{45°}}\)
Filmnézés \(\boldsymbol{\color{green}{5}}\) \(22,5°\)
b–c–d) A megkérdezettek hány százaléka tölti legszívesebben zenehallgatással a szabadidejét?
Írd le a számolás menetét is! A választ két tizedesjegy-pontossággal add meg!
\[ \begin{aligned} \frac{15}{30+20+15+10+5}=\frac{15}{80}=\frac{3}{16}=0,1875=18,75\% \end{aligned}\notag \]
5. Az ABCD deltoid A, B és C csúcsát berajzoltuk az alábbi ábrán szereplő koordináta- rendszerbe. Az ABCD deltoid minden csúcsa rácspont, vagyis a koordinátái egész számok. Az ABCD deltoid szimmetriatengelye párhuzamos a koordináta-rendszer y tengelyével.
null
a–b) Rajzold be az ábrába az ABCD deltoid D csúcsát, és határozd meg a koordinátáit!
\[ \begin{aligned} D(8;\;7) \end{aligned}\notag \]
c–d–e) Határozd meg az ABCD deltoid területét! (Egy rácsnégyzet területe 1 területegység az ábrán látható koordináta- rendszerben.) Írd le a számolás menetét is!
A szürkével jelölt téglalap területének fele a deltoid területe. A téglalap oldalainak hosszát az ábráról tudjuk leolvasni. A rövidebb oldala \(8\) a hosszabb pedig \(9\) egység.
\[ \begin{aligned} 2T&=8\cdot 9\\ T&=36\;\text{egys\’egn\’egyzet} \end{aligned}\notag \]
6. Bence háromszögeket és négyszögeket rajzolt egy lapra úgy, hogy a lerajzolt síkidomok között nincs két olyan síkidom, amelyeknek van közös pontjuk. Háromszor annyi háromszöget rajzolt, mint négyszöget. A lerajzolt alakzatoknak összesen 117 csúcsuk van.
Hány négyszöget és hány háromszöget rajzolt? Írd le a számolás menetét is!
Jelöljük a háromszögek számát \(H\)-val, a négyszögekét pedig \(N\)-nel. Tudjuk, hogy \(H\) és \(N\) pozitív egész számok, és \(\dfrac{H}{N}=3\).
A feladatot egyenlet felírásával oldjuk meg, felhasználva, hogy \(H=3\cdot N\)
\[ \begin{aligned} 3H+4N&=117\\ 3\cdot 3\cdot N+4\cdot N&=117\\ 9\cdot N+ 4\cdot N&=117\\ 13\cdot N&=117\\ N&=9\\ \end{aligned}\notag \]
A négyszögek száma \(N=9\), a háromszögeké pedig \(H=3N=3\cdot 9=27\).
Ellenőrzésképpen számoljuk össze a csúcsokat:
\[ \begin{aligned} 9\cdot 4+27\cdot 3=36+81=117\\ \end{aligned}\notag \]
7. Az alábbi ábrán vázolt \(ABC\) egyenlőszárú háromszögben \(AB = AC\), \(\alpha = 44°\). Az \(F\) pont a \(BC\) oldal felezési pontja, a \(D\) pont illeszkedik a \(BC\) oldalegyenesre. A \(G\) pont az \(AB\) szakasz belső pontja. A \(DE\) egyenes a \(BDG\) háromszög \(D\) csúcsánál lévő \(\delta\) belső szögének a szögfelezője. Az ábrán megadtuk az \(AGD\) szög nagyságát, ami \(108°\). (Az ábra csak tájékoztató jellegű vázlat, nem pontos méretű.)
a-c)
\[ \begin{aligned} \beta&=\frac{180°-44°}{2}=68°\\ \delta&=180°-68°-72°=40°\\ \mu&=180°-70°=110°\\ \end{aligned}\notag \]
Az \(ABC\) egyenlőszárú háromszög alapján fekvő szögek egyenlőek, így \(2\beta+44°=180°\) összefüggésből számítható \(\beta=68°\) nagysága.
\(AGD\sphericalangle=108°\) így \(BGD\sphericalangle=72°\). \(BGD\) háromszögben a belső szögek összege: \(68°+72°+\delta=180°\), tehát \(\delta=40°\)
\(AFC\sphericalangle=90°\), ugyanis \(AF\) oldalfelező merőleges. \(FDL\sphericalangle=\delta/2=20°\). Írjuk fel az \(FDL\) háromszög belső szögeinek összegét: \(90°+20°+FLD\sphericalangle=180°\), azaz \(FLD\sphericalangle=70°\). Ebből következik, hogy \(\mu=180°-70°=110°\)
8. Minden kérdés után karikázd be az egyetlen helyes válasz betűjelét!)
a) Mennyi az \(x\) értéke, ha \(15^{15}- 15^{14} = x\cdot 15^{14}\) ?
\[ \begin{aligned} 15^{15}- 15^{14} &= x\cdot 15^{14}\\ 15\cdot 15^{14}-15^{14} &= x\cdot 15^{14}\\ 15^{14}\cdot(15-1)&= x\cdot 15^{14}\\ 14\cdot 15^{14}= x\cdot 15^{14}\\ x=14\\ \end{aligned}\notag \]
b) Hány cm hosszú annak az egyenlő szárú háromszögnek az alapja, amelynek a szára 17 cm, a kerülete 43 cm?
A szárak hosszát jelöljük \(a\)-val, ahol \(a=17\;cm\), az alap hosszát pedig \(b\)-vel:
\[ \begin{aligned} K=43&=2a+b\\ 43&=2\cdot 17+b\\ 43&=34+b\\ 9&=b\\ \end{aligned}\notag \]
Melyik állítás igaz az alábbiak közül?
(A) Minden olyan tört egyszerűsíthető, amelynek a számlálója és a nevezője is 3-ra végződik.
(B) Minden olyan 6-jegyű szám osztható 6-tal, amelynek minden számjegye egyenlő.
(C) Ha két tört számlálója és nevezője is pozitív, valamint a számlálójuk egyenlő, akkor közülük a kisebb nevezőjű tört a nagyobb.
(D) Ha két egész szám összege természetes szám, akkor mindkét szám természetes.
A feladat ellenpélda kereséssel oldható meg:
(A) Ellenpélda: \(\dfrac{3}{13}\)
(B) Ellenpélda: \(111111\) ugyan osztható 3-mal, mert a számjegyek összege osztható hárommal, azonban a szám páratlan, így nem osztható \(6\)-tal.
(C) Igaz (kizárásos alapon is).
\[ \begin{aligned} b & < c\\ \frac{a}{b}&\gtreqqless\frac{a}{c}\\ \frac{1}{b}&\gtreqqless\frac{1}{c}\\ \frac{1}{b}& > \frac{1}{c}\\ \end{aligned}\notag \]
Tehát ha \(b < c\), akkor a fenti törtek közül a bal oldali a nagyobb.
(D) Ellenpélda: \(-1+2=1\), két egész szám összege természetes szám, azonban \(-1\) nem természetes szám.
d) Hány olyan egész szám van, amely nagyobb, mint \(–9\), de kisebb, mint \(82\)?
\(-8\) és \(-1\) között \(8\) darab szám van a határokat is ide értve. \(1-81\) között \(81\) szám van a határokat is ideértve. Természetesen a \(0\)- ide kell számolnunk, tehát a válasz \(8+1+81=90\).
9. Az ábrán látható testet két egybevágó téglatestből és két egybevágó négyzetes oszlopból ragasztottuk össze. A négyzetes oszlop alaplapja \(1\; cm\) oldalhosszúságú négyzet. Az ábrán megadtuk néhány szakasz hosszát. (Az ábra csak tájékoztató jellegű vázlat, nem pontos méretű.)
null
A négyzetes oszlopok alaplaja négyzet, amelynek oldalai egyenlőek, \(1\;cm\) hosszúságúak. A négyzetes oszlopok egyik alaplapja sem látszik – a ragasztás miatt a téglatestekhez csatlakozik, így test felszínének alábbi részét adják.
\[ \begin{aligned} A_1&=2\cdot(4\cdot 5)=40\;cm^2 \end{aligned}\notag \]
A két téglalap felszínéből, a ragasztás miatt összesen \(4\cdot 1\;cm^2=4\;cm^2\)-kell levonni.
\[ \begin{aligned} A_2&=2\cdot 2\cdot(2\cdot 1+2\cdot 6+1\cdot 6)-4=\\ &=4\cdot(2+12+6)-4=4\cdot 20-4=80-4=76\;cm^2 \end{aligned}\notag \]
A test felszíne:
\[ \begin{aligned} A=A_1+A_2=40+76=116\;cm^2 \end{aligned}\notag \]
10. Egy dobozban piros, kék és sárga labdák vannak.
A labdák
11 kivételével mind pirosak,
12 kivételével mind kékek,
13 kivételével mind sárgák.
a) Hány piros labda van a dobozban?
Jelöljük a piros, kék és sárga golyók számát rendre \(p\)-vel, \(k\)-val és \(s\)-sel. Az első feltétel azt jelenti, hogy az összes golyóból 11 darab sárga vagy kék, azaz \(k+s=11\). A többi feltételt is hasonlóan használhatjuk fel az alábbi összefüggésekhez:
\[ \begin{aligned} k+s&=11\quad (I.)\\ p+s&=12\quad (II.)\\ p+k&=13\quad (III.)\\ \end{aligned}\notag \]
Az összes golyó száma \(p+k+s\), amelyből következik, hogy a golyók számának kétszerese \(2p+2k+2s\). A golyók számának megfelelő csoportosításával az alábbiakat kapjuk:
\[ \begin{aligned} (k+s)+(p+s)+(p+k)&=36\\ p+k+s&=18 \end{aligned}\notag \]
Tehát összesen 18 golyó van, amelyből az első állítás alapján 11 kivételével mind piros. Azaz a piros golyók száma \(p=18-11=7\) darab. Hasonlóan számolhatjuk ki a többi golyó számát is, amelyre az ellenőrzéshez lehet szükség:
\[ \begin{aligned} k+12&=18\implies k=6\\ s+13&=18\implies s=5\\ \end{aligned}\notag \]
Ellenőrzés: a golyók száma \(p+k+s=7+6+5=18\), tehát a számításunk helyes.

További érdekességek

Most kedvező áron az előkészítő csomag

2023 iFeladatok I.

Interaktív feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
4.590 Ft 2022/23 tanévre
  • 20 iFeladat automatikus javítással
  • 19 témakör
  • 121 megoldási lépés
  • Megoldássegítő felépítés
  • 2,15 átlagos nehézség (1-3 skálán)
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

2023 Emelt szintű
matematika előkészítő

Kidolgozott feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
59.900 Ft 2022/23 tanévre
  • 25 kidolgozott témakör
  • Több mint 200 kidolgozott példa
  • 13 interaktív feladatsor
  • 21 elméleti összefoglaló
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelményekkel kiegészítve
  • 25 szóbeli tétel - teljes tételsor
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

2023 Középszintű matematika kurzusok

Tananyag középszintű matematika felkészüléshez
1.750 Ft 2022/23 tanévre, kurzusonként
  • Témakörönkénti előfizetés
  • Megértést segítő magyarázat
  • Definíciók, tételek
  • Kidolgozott típuspéldák
  • Online feladatok, azonnali javítással
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelmények alapján
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

Kapcsolat

Dokumentumok

Pénzügyi Partnerünk

CIB Bank

Elfogadott kártyák

Bankkártyák

    Írj nekünk!



    Facebook Map-marker-alt Tiktok

    Ügyfélszolgálat

    • Telefon: +36 30 427-6190
    • hétfő-péntek: 8:00-16:00

    Vásárlási kisokos

      Copyright © iMatek 2020-2025 – Minden jog fenntartva