Számrendszerek – 8. osztály

9+1 felvételi típusú iFeladatsor
8. osztályosoknak

iFeladatsor

Hatványozás és számrendszerek

A különböző alapú számrendszerek tanulmányozása előtt tekintsük át a hatványozás ide vonatkozó részét.
Egy valós szám első hatványát az alábbiak szerint definiáljuk.
\[ \begin{aligned} a^1=a \end{aligned}\notag \]
Ha \(a\) egy valós szám, és \(n > 1\) egész szám, akkor
\[ \begin{aligned} a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{\text{n darab tényező}} \end{aligned}\notag \]
Szintén definiáljuk a valós számok nulladik hatványát úgy, hogy minden valós szám nulladik hatványa \(1\).
\[ \begin{aligned} a^0=1 \end{aligned}\notag \]
Nézzünk néhány példát a hatványozásra, amely már a számrendszerekhez is kapcsolódik.
\[ \begin{aligned} 3\cdot 10^2+2\cdot 10^1+1\cdot 10^0&=321\\ 300+20+1&=321\\ \end{aligned}\notag \]
\[ \begin{aligned} 3\cdot 2^2+2\cdot 2^1+1\cdot 2^0&=17\\ 3\cdot 4+2\cdot 2+1&=17\\ \end{aligned}\notag \]
Számrendszerek definíciója
A számrendszerek meghatározásában két fontos fogalmat kell megjegyezni, a helyiérték és az alaki érték. Az \(a\) alapú számrendszerben a helyiértékek \(1(=a^0),\,a,\,a^2,\,a^3,\ldots\), az alaki értékek pedig \(0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots ,a-1\), amennyiben \(a \leq 10\).
A \(10\)-es számrendszerben a helyiértékek: \(1(=10^0),\,10,\,100,\,1000,\ldots\)
Az alaki értékek pedig: \(0,\,1,\,2,\,3,\,4,\ldots ,9\)
A \(2\)-es számrendszerben a helyiértékek: \(1(=2^0),\,2,\,4,\,8,\ldots\)
Az alaki értékek pedig: \(0,\,1\)
Az ábrán a \(153.629\) számot láthatjuk \(10\)-es számrendszerben felírva. Az oszlopok alatt találhatóak feketével a helyiértékek, felettük pedig az alaki értékek.

Átváltás számrendszerek között

Ha \(n < 10\) alapú számrendszerből szeretnénk \(10\)-es számrendszerbe átváltani egy számot, akkor a következő lépéseket kell követni:
  1. Írjunk fel az adott alapú számrendszerhez tartozó helyiértékekből annyit, ahány számjegy van az átváltandó számban,
  2. Minden helyiértéket szorozzuk meg a hozzá tartozó (egyjegyű) alaki értékkel,
  3. Adjuk össze a szorzatokat,
  4. A kapott eredmény lesz a szám \(10\)-es számrendszerbeli alakja.
Számítsuk ki za \(1423_5\) ötös számrendszerben adott szám \(10\)-es számrendszerbeli alakját.
\[ \begin{aligned} 1423_5&=1\cdot 5^3+4\cdot 5^2+2\cdot 5^1+3\cdot 5^0\\ 1423_5&=1\cdot 125+4\cdot 25+2\cdot 5+3\cdot 1\\ 1423_5&=238_{10} \end{aligned}\notag \]
Ha \(10\)-es számrendszerből szeretnénk átváltani egy számot, \(n < 10\) alapú számrendszerbe, akkor a következő lépéseket kell követni:
  1. Osszuk el a \(10\)-es számrendszerben adott számot maradékosan az új számrendszer alapjával,
  2. Írjuk fel külön a maradékot, majd a maradékos osztás eredményét ismét osszuk el maradékosan az új számrendszer alapjával,
  3. Ismételjük az utolsó két lépést oly módon, hogy a maradékokat mindig az előző osztás során kapott maradék elé írjuk,
  4. A maradékos osztást addig kell folytatni, amíg a hányados \(0\) lesz,
  5. Az egymás mellé írt maradékok adják az új számrendszerben felírt számot.
Számítsuk ki a \(238_{10}\) tízes számrendszerben adott szám \(5\)-es számrendszerbeli alakját. (Az előzőekből tudjuk, hogy az eredmény \(1423_5\) lesz.)
\[ \begin{aligned} 238:5&=47+\color{#93003f}3\qquad &\underline{ }\,\underline{ }\,\underline{ }\,\underline{3}\\ 47:5&=9+\color{#93003f}2\qquad &\underline{ }\,\underline{ }\,\underline{2}\,\underline{3}\\ 9:5&=1+\color{#93003f}4\qquad &\underline{ }\,\underline{4}\,\underline{2}\,\underline{3}\\ 1:5&=\color{#008454}{\boldsymbol{0}}+\color{#93003f}1\qquad &\underline{1}\,\underline{4}\,\underline{2}\,\underline{3}\\ \end{aligned}\notag \]
1. feladat
2. feladat
1 2

9+1 felvételi típusú iFeladatsor
8. osztályosoknak

iFeladatsor

Hatványozás és számrendszerek

A különböző alapú számrendszerek tanulmányozása előtt tekintsük át a hatványozás ide vonatkozó részét.
Egy valós szám első hatványát az alábbiak szerint definiáljuk.
\[ \begin{aligned} a^1=a \end{aligned}\notag \]
Ha \(a\) egy valós szám, és \(n > 1\) egész szám, akkor
\[ \begin{aligned} a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{\text{n darab tényező}} \end{aligned}\notag \]
Szintén definiáljuk a valós számok nulladik hatványát úgy, hogy minden valós szám nulladik hatványa \(1\).
\[ \begin{aligned} a^0=1 \end{aligned}\notag \]
Nézzünk néhány példát a hatványozásra, amely már a számrendszerekhez is kapcsolódik.
\[ \begin{aligned} 3\cdot 10^2+2\cdot 10^1+1\cdot 10^0&=321\\ 300+20+1&=321\\ \end{aligned}\notag \]
\[ \begin{aligned} 3\cdot 2^2+2\cdot 2^1+1\cdot 2^0&=17\\ 3\cdot 4+2\cdot 2+1&=17\\ \end{aligned}\notag \]
Számrendszerek definíciója
A számrendszerek meghatározásában két fontos fogalmat kell megjegyezni, a helyiérték és az alaki érték. Az \(a\) alapú számrendszerben a helyiértékek \(1(=a^0),\,a,\,a^2,\,a^3,\ldots\), az alaki értékek pedig \(0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots ,a-1\), amennyiben \(a \leq 10\).
A \(10\)-es számrendszerben a helyiértékek: \(1(=10^0),\,10,\,100,\,1000,\ldots\)
Az alaki értékek pedig: \(0,\,1,\,2,\,3,\,4,\ldots ,9\)
A \(2\)-es számrendszerben a helyiértékek: \(1(=2^0),\,2,\,4,\,8,\ldots\)
Az alaki értékek pedig: \(0,\,1\)
Az ábrán a \(153.629\) számot láthatjuk \(10\)-es számrendszerben felírva. Az oszlopok alatt találhatóak feketével a helyiértékek, felettük pedig az alaki értékek.

Átváltás számrendszerek között

Ha \(n < 10\) alapú számrendszerből szeretnénk \(10\)-es számrendszerbe átváltani egy számot, akkor a következő lépéseket kell követni:
  1. Írjunk fel az adott alapú számrendszerhez tartozó helyiértékekből annyit, ahány számjegy van az átváltandó számban,
  2. Minden helyiértéket szorozzuk meg a hozzá tartozó (egyjegyű) alaki értékkel,
  3. Adjuk össze a szorzatokat,
  4. A kapott eredmény lesz a szám \(10\)-es számrendszerbeli alakja.
Számítsuk ki za \(1423_5\) ötös számrendszerben adott szám \(10\)-es számrendszerbeli alakját.
\[ \begin{aligned} 1423_5&=1\cdot 5^3+4\cdot 5^2+2\cdot 5^1+3\cdot 5^0\\ 1423_5&=1\cdot 125+4\cdot 25+2\cdot 5+3\cdot 1\\ 1423_5&=238_{10} \end{aligned}\notag \]
Ha \(10\)-es számrendszerből szeretnénk átváltani egy számot, \(n < 10\) alapú számrendszerbe, akkor a következő lépéseket kell követni:
  1. Osszuk el a \(10\)-es számrendszerben adott számot maradékosan az új számrendszer alapjával,
  2. Írjuk fel külön a maradékot, majd a maradékos osztás eredményét ismét osszuk el maradékosan az új számrendszer alapjával,
  3. Ismételjük az utolsó két lépést oly módon, hogy a maradékokat mindig az előző osztás során kapott maradék elé írjuk,
  4. A maradékos osztást addig kell folytatni, amíg a hányados \(0\) lesz,
  5. Az egymás mellé írt maradékok adják az új számrendszerben felírt számot.
Számítsuk ki a \(238_{10}\) tízes számrendszerben adott szám \(5\)-es számrendszerbeli alakját. (Az előzőekből tudjuk, hogy az eredmény \(1423_5\) lesz.)
\[ \begin{aligned} 238:5&=47+\color{#93003f}3\qquad &\underline{ }\,\underline{ }\,\underline{ }\,\underline{3}\\ 47:5&=9+\color{#93003f}2\qquad &\underline{ }\,\underline{ }\,\underline{2}\,\underline{3}\\ 9:5&=1+\color{#93003f}4\qquad &\underline{ }\,\underline{4}\,\underline{2}\,\underline{3}\\ 1:5&=\color{#008454}{\boldsymbol{0}}+\color{#93003f}1\qquad &\underline{1}\,\underline{4}\,\underline{2}\,\underline{3}\\ \end{aligned}\notag \]
1. feladat
2. feladat
1 2

Hasznos tudnivalók

Ha megnyitsz egy iFeladatot, akkor még mielőtt elkezdenéd a megoldást, találhatsz néhány hasznos információt, mint például milyen előismeretekre épít a feladat, egy rövid leírást, a nehézségi szintet. Ezek ismeretében eldöntheted, hogy ezt folytatod, egy másik példát nézel, vagy előtte átnézed az ide vonatkozó elméleti részt, akár az iMatek.hu segítségével (előfizetés esetén).

Az iFeladatok megoldása során, az oldal alján néha megjelenik a “Tipp” gomb, amely segítséget nyújt a válaszadásban. Fontos, hogy a feladaton belüli kérdések egymásra épülnek, és nincs mód az egye rész kérdések átugrására, vagy visszalépésre.

A válaszaid a feladat végén értékelésre kerülnek, összefoglaló táblázatban megjelennek a kérdése, a lehetséges, az általad megjelölt és a helyes válaszok is. Az összefoglaló oldalon megtalálhatod, hogy mennyi időt töltöttél a feladattal, hány pontot értél el, és az hány százalékos teljesítménynek felel meg. Helytelen válasz esetén gyakran rövid megjegyzést kapsz, amely segíthet megtalálni a hiba okát.

Nehézségi szintek jelentése

Emelt szintű matematika tudás esetén elsősorban a figyelem meglétére, az összpontosításra és a precíz munkára fókuszál.

Összetett feladat, gondolatmenetében több különböző lépésre van szükség. Emelt szintű matek tudás esetén elmélyíti az ismereteket, segít a rutin megszerzésében.

Egyedi megoldási lépéseket tartalmaz a feladat, mindenképpen időt és erőfeszítést igényel a megoldása emelt szintű matek felkészültség esetén is. Elsődleges célja, hogy fejlessze a gondolkodást és felkészítsen a “váratlan” feladatokra.

Kapcsolat

Dokumentumok

Pénzügyi Partnerünk

CIB Bank

Elfogadott kártyák

Bankkártyák

    Írj nekünk!



    Facebook Map-marker-alt

    Ügyfélszolgálat

    • Telefon: +36 30 427-6190
    • hétfő-péntek: 8:00-16:00
      Copyright © iMatek 2020-2024