Arányok – 8. osztály

9+1 felvételi típusú iFeladatsor
8. osztályosoknak

iFeladatsor

Hogyan adhatunk meg arányokat?

Arány meghatározása Jelentése Ábra
A férfiak és a nők aránya \(3:7\).
Ha a férfiak száma \(a\) és a nőké \(b\), akkor \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{7}\).
A nők \(\dfrac{7}{3}\)-szor többen vannak.
A nők számának \(\dfrac{3}{7}\)-e a férfiak száma.
A férfiak számának \(\dfrac{7}{3}\)-a a nők száma.
Az emberek \(0,3\)-e férfi és \(0,7\)-e nő.
\(10\) emberből \(3\) férfi és \(7\) nő.
Az emberek \(30\%\)-a férfi, a \(70\%\)-a nő.
A fenti megfogalmazások ugyanazt az arányt jelentik, azonban két, lényegében eltérő számpárost találunk.
  1. Az arányok első meghatározása a \(3:7\) arányszám megadása, amely azonos arányt jelent, mint a \(\dfrac{3}{7}\).
  2. A második meghatározás alapján az összes ember \(0,3\)-e férfi és a \(0,7\)-e nő.
Fontos, hogy az első a férfiak és a nők számának arányát egymáshoz képest adja meg. A második megfogalmazás pedig a férfiak és a nők számának összegéhez viszonyítva adja meg a férfiak és a nők számának arányát.
Ha a második módon adjuk meg az arányt, azaz például, a tóban lévő halak \(0,4\)-e ragadozó, a \(0,6\)-e pedig növényevő, akkor mindig teljesül, hogy az arányok összege \(1\), azaz \(0,4+0,6=1\).
Ha szeretnénk áttérni az első megfogalmazásról a másodikra, akkor a férfiak arányát az összes emberéhez képest a \(\dfrac{3}{3+7}=0,3\) számítással kapjuk meg. A nők számának aránya hasonlóan \(\dfrac{7}{3+7}=0,7\).

Fordítva pedig a \(0,3\) és \(0,7\) arányt osztjuk egymással: \(\dfrac{0,3}{0,7}=\dfrac{3}{7}\), amelyből már adódik a \(3:7\) alakú felírás is.
Ha egy termék \(100\) forintos árát \(4:1\) arányba osztjuk fel, amelyből a nagyobb rész a gyártási költség, a kisebb pedig a haszon, akkor kétféleképpen is megadhatjuk a haszon mértékét:
  1. A termék teljes \(100\) forintos árának \(\dfrac{1}{5}\), azaz \(20\%\)-a haszon, a fennmaradó \(\dfrac{4}{5}\), azaz \(80\%\) pedig a költség. Tehát a \(20\) forint haszon a teljes ár ötöde.
  2. A termék előállítási költségének \(\dfrac{1}{4}\)-vel, azaz \(25\%\)-kal növeljük az árát, így a költségek negyedével kell növelni az árat, hogy az előző pontban megadott \(20\) forintos haszonnal egyező legyen a nyereség.
1. feladat
2. feladat
3. feladat

Hogyan oszthatunk fel egy adott értéket ismert arányok szerint?

Arány meghatározása Felosztás módszere Ábra
15 kg gyümölcsben a szilva és a körte aránya \(2:3\).
Jelöljük \(2x\)-szel a szilva és \(3x\)-szel a körte mennyiségét.
A számításhoz egyszerű egyenletet írunk fel:
\[ \begin{aligned} 2x+3x&=15\\ 5x&=15\\ x&=3\\ \end{aligned}\notag \]
\(x\)-et értelmezhetjük úgy, hogy ha a gyümölcsöket egyforma egységcsomagokba tesszük, akkor \(3\,kg\)-os csomagokat készítenénk.
Az eredmény \(2x=2\cdot 3=6\,kg\) szilva és \(3x=3\cdot 3=9\,kg\) körte van a ládában.
Egy ládában 15 kg gyümölcs van. Másfélszer több körte van a ládában, mint szilva.
Jelöljük \(x\)-szel a szilva mennyiségét, akkor \(1,5\cdot x\) lesz a szilva mennyisége.
A számításhoz egyszerű egyenletet írunk fel:
\[ \begin{aligned} 1,5\cdot x+x&=15\\ 2,5\cdot x&=15\\ x&=6\\ \end{aligned}\notag \]
Ebben az esetben \(x\)-szel jelöltük a szilva mennyiségét, így közvetlenül az eredményt kaptuk meg. \(x=6\,kg\) szilva és \(1,5\cdot 6=9\,kg\) körte van a ládában.
Az előző oldalon bemutatott kétféle értelmezéssel adtunk meg arányokat. A kétféleképpen megadott arány ugyanarra az eredményre vezetett, azonban ezt az előző oldalon részletezett számítással már az elején beláthattuk volna.
Ha a szilva és a körte aránya \(2:3\)-hoz, akkor a szilva aránya az összes gyümölcshöz képest \(\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}\). A körte aránya az összes gyümölcshöz képest \(\dfrac{3}{2+3}=\dfrac{3}{5}\).
A körte aránya a szilvához képest \(3:2\), azaz \(\dfrac{3}{2}=1,5\). Tehát másfélszer több körte van a ládában, mint szilva.
1. feladat
2. feladat

1. Típuspélda: arányok megváltozása

Feladat
Egy étteremben a kávét illetve a teát fogyasztók aránya \(4:11\). Minden vendég vagy teát vagy kávét iszik. Egy újonnan érkezett 5 fős társaságból mindenki kávét rendelt, így a kávét illetve teát fogyasztók aránya \(3:7\) arányra változott. Hány vendég volt eredetileg az étteremben?
Táblázat I.
Kávét fogyasztók száma Teát fogyasztók száma Kávét illetve teát fogyasztók aránya
Eredetileg a vendégek száma
\(4x\)
 \(11x\) \(4x:11x=4:11\)
Újonnan érkezett vendégekkel az összes vendég száma
\(4x+5\)
 \(11x\) \((4x+5):11x=3:7\)
Megoldás
A táblázatot úgy készítettük el, hogy a feladat adatait áttekinthetően rendezni tudjuk. Az első sorban az étteremben eredetileg az lévő vendégek adatai kerültek, két csoportba osztva, aszerint, hogy teát vagy kávét isznak. A két csoport számának felírását az első oldalon bemutatott módszer szerint végeztük el. A második sor az újonnan érkezett vendégekkel együtt mutatja, hogy mennyien isznak kávét vagy teát, illetve a két csoport számának az arányát.
A táblázat lényegében már tartalmazza azt az egyenletet, amelyet megoldva megkapjuk az első fontos részeredményt: \[ \begin{aligned} \frac{4x+5}{11x}&=\frac{3}{7}\\ 7\cdot(4x+5)&=3\cdot 11\cdot x\\ 28x+35&=33x\\ 35&=5x\\ x&=7\\ \end{aligned}\notag \]
Eredetileg az étteremben lévő vendégek száma \(4x+11x=15x\) volt, így \(x=7\) behelyettesítésével megkapjuk a választ a feladat kérdésére, azaz \(7\cdot 15=105\) vendég volt eredetileg az étteremben. Ezt követően természetesen visszahelyettesíthetnénk \(x=7\) értéket a táblázatba és egyéb adatokat is leolvashatnánk. Például eredetileg és az újonnan érkezett vendégeket is figyelembe véve \(11x=11\cdot 7=77\) vendég fogyasztott teát.
Az ábrát már csak \(x=7\) ismeretében tudjuk elkészíteni, de jól szemlélteti a változást.
Módosított feladat
A fenti feladatban felírt táblázat első három oszlopa általánosságban is használható, azonban az adatok közti kapcsolattól függően az utolsó oszlop változhat, illetve előfordulhat, hogy egy további sor beiktatása célravezető lehet.
Ha az előző feladat végén nem az újonnan jött társasággal kiegészült vendégek két csoportjának az aránya lenne megadva, hanem például az eredeti és az újonnan érkezett társasággal kiegészült, kávét fogyasztó vendégek aránya lenne megadva, akkor a táblázat a következőképpen alakulna. Az arány legyen \(28:33\).
Táblázat II.
Kávét fogyasztók száma Teát fogyasztók száma
Eredetileg a vendégek száma
\(4x\)
 \(11x\)
Újonnan érkezett vendégekkel az összes vendég száma
\(4x+5\)
 \(11x\)
Az azonos italt fogyasztók aránya
\(4x:(4x+5)=28:33\)
 –
Megoldás
Az egyenlet ismét adott a táblázatban, amelyet meg kell oldni: \[ \begin{aligned} \frac{4x}{4x+5}&=\frac{28}{33}\\ 33\cdot 4\cdot x&=28\cdot (4x+5)\\ 132x&=112x+140\\ 20x&=140\\ x&=7\\ \end{aligned}\notag \]
A feladat befejezése megegyezik az előző feladatéval.
1. feladat

2. Típuspélda: mennyi marad a végén?

Feladat
Egy kerékpár túra első napján a teljes út \(\dfrac{2}{5}\)-ét tették meg, míg a második napon a harmadát. A harmadik, utolsó napra \(24\,km\) táv maradt a túra végéig. Hány kilométer volt a három napos túra teljes távolsága?
Ábra
1. nap 2. nap 3.nap Összesen
\(\dfrac{2}{5}\) \(\dfrac{1}{3}\) \(m=?\) \(1\)
\(? km\) \(? km\) \(24\,km\) \(x\,km\)
Megoldás
A megoldáshoz készítettünk egy ábrát és egy táblázatot is. A kettő együttes alkalmazása nem szükséges, talán az ábra adhat nagyobb segítséget. Az ábránál (a táblázatnál is) fontos, hogy az arányokat és a \(km\)-ben megadott értékeket külön kezeljük. Ennek megfelelően az egyes napokon megtett távokat jelző színes négyzetek felett a \(km\)-ben, alatta pedig a teljes úthoz viszonyított napi arányokat tüntettük fel.
A megoldáshoz szükséges összefüggést a feladat nem mondja ki, csak áttételesen jelenik meg benne: az egyes napokon megtett útszakasz arányok összege 1. \[ \begin{aligned} \frac{2}{5}+\frac{1}{3}+m&=1\\ \frac{6}{15}+\frac{5}{14}+m&=1\\ \frac{6+5}{15}+m&=1\\ m&=1-\frac{11}{15}\\ m&=\frac{4}{15} \end{aligned}\notag \]
Az ábrán két zöld nyíl található, amelyből az ábra alatt a fentiekben felhasznált összefüggést jelöli. A jobb oldali zöld nyíl azt jelenti, hogy ha az út teljes hosszát \(x\)-szel jelöljük, akkor \(m\cdot x=24\). (Hasonlóan igaz a kékkel és a bordóval jelölt szakaszokra is.) \[ \begin{aligned} m\cdot x&=24\\ \frac{4}{15}\cdot x&=24\\ x&=90\,km\\ \end{aligned}\notag \]
Tehát a válasz: a három napos túra teljes hossza \(90\,km\). \(x=90\,km\) ismeretében az első és második napon megtett táv is kiszámítható, amely rendre \(36\,km\) és \(30\,km\).
1. feladat

3. Típuspélda: halmozott arányok

Feladat
Egy középiskolába jelentkezők kétfordulós felvételi eljáráson vesznek részt. A jelentkezők \(\dfrac{1}{21}\)-ed része nem ment el az elsőkörös felvételire, ahol a diákok \(\dfrac{7}{8}\)-ad része teljesítette az elvárt szintet. Az utolsó fordulót a továbbjutók \(0,2\)-e teljesítette, így 28 tanulót vettek fel. Hány diák jelentkezett a felvételire?
Ábra I.
Megoldás
Az ábrát már az eredmény ismeretében készítettük el, azonban a megértéshez sokat segíthet és a megoldáshoz lényegében csak a zöld nyilakra írt számoknak és műveleti jeleknek van jelentőssége.
A feladat szövegének lépéseit az ábra alatti zöld nyilak jelölik, amelynek a fordítottját végezzük el a megoldás során, az ábra feletti zöld nyilak jelölését követve. \[ \begin{aligned} \left(\left(28:0,2\right):\frac{7}{8}\right):\frac{20}{21}\\ \left(\left(28:\frac{2}{10}\right):\frac{7}{8}\right):\frac{20}{21}\\ \left(\left(28\cdot\frac{10}{2}\right)\cdot\frac{8}{7}\right)\cdot\frac{21}{20}\\ \left(140\cdot\frac{8}{7}\right)\cdot\frac{21}{20}\\ 160\cdot\frac{21}{20}\\ 168\\ \end{aligned}\notag \]
Tehát 168-an jelentkeztek az adott középiskolába.
Ugyanerre az eredményre jutottunk volna, ha a következő egyenletet írjuk fel az alsó zöld nyilak által jelölt logika mentén: \[ \begin{aligned} 28&=\left(\left(x\cdot \dfrac{20}{21}\right)\cdot\frac{7}{8}\right)\cdot 0,2\\ \end{aligned}\notag \]
Módosított feladat
Egy középiskolába jelentkezők kétfordulós felvételi eljáráson vesznek részt. A jelentkezők \(\dfrac{5}{6}\)-od része és még 20 fő nem ment el az elsőkörös felvételire, ahol a diákok \(\dfrac{2}{3}\)-ad része teljesítette az elvért szintet. Az utolsó fordulót a továbbjutók \(0,4\)-e teljesítette, így 32 tanulót vettek fel. Hány diák jelentkezett a felvételire?
Ábra II.
Megoldás
A feladatot módosítottuk, hogy a továbbjutók ne csak az előzőek bizonyos hányada legyen, hanem ezen felül még adott számú diákkal is csökken a felvételizők száma.
A megoldást az előző feladat végén bemutatott módszerrel fogjuk levezetni. \[ \begin{aligned} 32&=\left(\left(x\cdot \dfrac{5}{6}-20\right)\cdot\frac{2}{3}\right)\cdot 0,4\\ 32&=\left(x\cdot \dfrac{5}{6}\cdot\frac{2}{3}-20\cdot\frac{2}{3}\right)\cdot 0,4\\ 32&=\left(x\cdot \dfrac{5}{9}-\frac{40}{3}\right)\cdot \frac{4}{10}\\ 32&=x\cdot \dfrac{5}{9}\cdot\frac{4}{10}-\frac{40}{3}\cdot\frac{4}{10}\\ 32&=x\cdot \dfrac{2}{9}-\frac{16}{3}\\ 288&=2x-48\\ 336&=2x\\ x&=168 \end{aligned}\notag \]
Az eredmény megegyezik az előző feladat eredményével, azaz 168 diák jelentkezett az adott középiskolába.
1. feladat

4. Típuspélda: arányok keresztben-hosszában

Feladat
Egy partira háromféle desszertet készítenek: gyümölcssalátát, fagylaltot és fagyit csümölccsel. Összesen 60 vendéget hívtak meg, akik közül 9 nem szereti a fagylaltot. A meghívottak \(\dfrac{7}{12}\)-e szereti a gyümölcsöt. Azoknak az \(\dfrac{1}{5}\)-e nem szereti a fagyit, akik szeretik a gyümölcsöt. A vendégek csak olyan édességet ettek a partin, amelynek minden hozzávalóját szeretik. Hány olyan vendég volt, aki nem tudott desszertet választani, azaz se a fagyit se a gyümölcsöt nem szereti? Mennyi volt a gyümölcssalátát és a gyümölcs nélküli fagylaltot választók aránya?
Táblázat I.
Szereti a gyümölcsöt Nem szereti a gyümölcsöt Összesen (fő/arány)
Szereti a fagyit a b \(60-9=51\)
c d e
Nem szereti a fagyit f g 9
\(\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{1}{5}\) h i
Összesen (fő/arány) \(60\cdot\dfrac{7}{12}=35\) j 60
\(\dfrac{7}{12}\) k l
Megoldás
A megoldást a táblázat segítségével követhetjük végig, amelyet lépésenként töltünk ki. Sötét kékkel jelöltük azokat a mezőket, amelyek a feladat szövegéből adódnak, a zöld részek pedig azokat az adatokat jelölik, amelyek a válaszokat adják (vagy ahhoz közvetlenül kellenek). Fontos, hogy minden mezőbe úgy írjuk be a számokat (ha lehetséges), hogy minden arány az összess meghívott vendég számához legyen viszonyítva. Ha nem tudunk minden mezőt az összes vendég számához viszonyítani, akkor mindenképpen figyelni kell arra, hogy az adott arány mire vonatkozik. Ennek megfelelően azok aránya, akik szeretik a gyümölcsöt, de nem szeretik a fagyit, a meghívott vendégek \(\dfrac{7}{12}\)-nek az \(\dfrac{1}{5}\)-e. Az eredeti táblázatba a feladat adataiból közvetlenül számolható értékeket világos kékkel jelöltük.
A megoldást lényegében a táblázat kitöltésével kapjuk meg. A következőkben az egyes lépések sorszámát az eredmények mögé beírjuk a táblázatba és minden számításhoz az előzőek eredményét már felhasználjuk, ha szükséges.
  1. \(j=60-35=25\)
  2. \(f=\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot 60=7\)
  3. \(g=9-7=2\)
  4. \(b=25-2=23\)
A feladat első kérdésére megkaptuk a választ, amelyet a \(g\) jelű mező tartalmaz, azaz \(2\) vendég volt, akik nem tudtak desszertet választani.
A gyümölcssalátát és a gyümölcs nélküli fagylaltot választók aránya \(f:b=7:23\).
A táblázat többi cellái is számíthatóak lennének az adatokból, de a feladat megoldásának szempontjából nincs szükségünk rá.
Szereti a gyümölcsöt Nem szereti a gyümölcsöt Összesen (fő/arány)
Szereti a fagyit a 23 (4) \(60-9=51\)
c d e
Nem szereti a fagyit 7 (2) 2 (3) 9
\(\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{1}{5}\) h i
Összesen (fő/arány) \(60\cdot\dfrac{7}{12}=35\) 25 (1) 60
\(\dfrac{7}{12}\) k l
1. feladat
1 2 3 4 5 6

9+1 felvételi típusú iFeladatsor
8. osztályosoknak

iFeladatsor

Hogyan adhatunk meg arányokat?

Arány meghatározása Jelentése Ábra
A férfiak és a nők aránya \(3:7\).
Ha a férfiak száma \(a\) és a nőké \(b\), akkor \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{7}\).
A nők \(\dfrac{7}{3}\)-szor többen vannak.
A nők számának \(\dfrac{3}{7}\)-e a férfiak száma.
A férfiak számának \(\dfrac{7}{3}\)-a a nők száma.
Az emberek \(0,3\)-e férfi és \(0,7\)-e nő.
\(10\) emberből \(3\) férfi és \(7\) nő.
Az emberek \(30\%\)-a férfi, a \(70\%\)-a nő.
A fenti megfogalmazások ugyanazt az arányt jelentik, azonban két, lényegében eltérő számpárost találunk.
  1. Az arányok első meghatározása a \(3:7\) arányszám megadása, amely azonos arányt jelent, mint a \(\dfrac{3}{7}\).
  2. A második meghatározás alapján az összes ember \(0,3\)-e férfi és a \(0,7\)-e nő.
Fontos, hogy az első a férfiak és a nők számának arányát egymáshoz képest adja meg. A második megfogalmazás pedig a férfiak és a nők számának összegéhez viszonyítva adja meg a férfiak és a nők számának arányát.
Ha a második módon adjuk meg az arányt, azaz például, a tóban lévő halak \(0,4\)-e ragadozó, a \(0,6\)-e pedig növényevő, akkor mindig teljesül, hogy az arányok összege \(1\), azaz \(0,4+0,6=1\).
Ha szeretnénk áttérni az első megfogalmazásról a másodikra, akkor a férfiak arányát az összes emberéhez képest a \(\dfrac{3}{3+7}=0,3\) számítással kapjuk meg. A nők számának aránya hasonlóan \(\dfrac{7}{3+7}=0,7\).

Fordítva pedig a \(0,3\) és \(0,7\) arányt osztjuk egymással: \(\dfrac{0,3}{0,7}=\dfrac{3}{7}\), amelyből már adódik a \(3:7\) alakú felírás is.
Ha egy termék \(100\) forintos árát \(4:1\) arányba osztjuk fel, amelyből a nagyobb rész a gyártási költség, a kisebb pedig a haszon, akkor kétféleképpen is megadhatjuk a haszon mértékét:
  1. A termék teljes \(100\) forintos árának \(\dfrac{1}{5}\), azaz \(20\%\)-a haszon, a fennmaradó \(\dfrac{4}{5}\), azaz \(80\%\) pedig a költség. Tehát a \(20\) forint haszon a teljes ár ötöde.
  2. A termék előállítási költségének \(\dfrac{1}{4}\)-vel, azaz \(25\%\)-kal növeljük az árát, így a költségek negyedével kell növelni az árat, hogy az előző pontban megadott \(20\) forintos haszonnal egyező legyen a nyereség.
1. feladat
2. feladat
3. feladat

Hogyan oszthatunk fel egy adott értéket ismert arányok szerint?

Arány meghatározása Felosztás módszere Ábra
15 kg gyümölcsben a szilva és a körte aránya \(2:3\).
Jelöljük \(2x\)-szel a szilva és \(3x\)-szel a körte mennyiségét.
A számításhoz egyszerű egyenletet írunk fel:
\[ \begin{aligned} 2x+3x&=15\\ 5x&=15\\ x&=3\\ \end{aligned}\notag \]
\(x\)-et értelmezhetjük úgy, hogy ha a gyümölcsöket egyforma egységcsomagokba tesszük, akkor \(3\,kg\)-os csomagokat készítenénk.
Az eredmény \(2x=2\cdot 3=6\,kg\) szilva és \(3x=3\cdot 3=9\,kg\) körte van a ládában.
Egy ládában 15 kg gyümölcs van. Másfélszer több körte van a ládában, mint szilva.
Jelöljük \(x\)-szel a szilva mennyiségét, akkor \(1,5\cdot x\) lesz a szilva mennyisége.
A számításhoz egyszerű egyenletet írunk fel:
\[ \begin{aligned} 1,5\cdot x+x&=15\\ 2,5\cdot x&=15\\ x&=6\\ \end{aligned}\notag \]
Ebben az esetben \(x\)-szel jelöltük a szilva mennyiségét, így közvetlenül az eredményt kaptuk meg. \(x=6\,kg\) szilva és \(1,5\cdot 6=9\,kg\) körte van a ládában.
Az előző oldalon bemutatott kétféle értelmezéssel adtunk meg arányokat. A kétféleképpen megadott arány ugyanarra az eredményre vezetett, azonban ezt az előző oldalon részletezett számítással már az elején beláthattuk volna.
Ha a szilva és a körte aránya \(2:3\)-hoz, akkor a szilva aránya az összes gyümölcshöz képest \(\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}\). A körte aránya az összes gyümölcshöz képest \(\dfrac{3}{2+3}=\dfrac{3}{5}\).
A körte aránya a szilvához képest \(3:2\), azaz \(\dfrac{3}{2}=1,5\). Tehát másfélszer több körte van a ládában, mint szilva.
1. feladat
2. feladat

1. Típuspélda: arányok megváltozása

Feladat
Egy étteremben a kávét illetve a teát fogyasztók aránya \(4:11\). Minden vendég vagy teát vagy kávét iszik. Egy újonnan érkezett 5 fős társaságból mindenki kávét rendelt, így a kávét illetve teát fogyasztók aránya \(3:7\) arányra változott. Hány vendég volt eredetileg az étteremben?
Táblázat I.
Kávét fogyasztók száma Teát fogyasztók száma Kávét illetve teát fogyasztók aránya
Eredetileg a vendégek száma
\(4x\)
 \(11x\) \(4x:11x=4:11\)
Újonnan érkezett vendégekkel az összes vendég száma
\(4x+5\)
 \(11x\) \((4x+5):11x=3:7\)
Megoldás
A táblázatot úgy készítettük el, hogy a feladat adatait áttekinthetően rendezni tudjuk. Az első sorban az étteremben eredetileg az lévő vendégek adatai kerültek, két csoportba osztva, aszerint, hogy teát vagy kávét isznak. A két csoport számának felírását az első oldalon bemutatott módszer szerint végeztük el. A második sor az újonnan érkezett vendégekkel együtt mutatja, hogy mennyien isznak kávét vagy teát, illetve a két csoport számának az arányát.
A táblázat lényegében már tartalmazza azt az egyenletet, amelyet megoldva megkapjuk az első fontos részeredményt: \[ \begin{aligned} \frac{4x+5}{11x}&=\frac{3}{7}\\ 7\cdot(4x+5)&=3\cdot 11\cdot x\\ 28x+35&=33x\\ 35&=5x\\ x&=7\\ \end{aligned}\notag \]
Eredetileg az étteremben lévő vendégek száma \(4x+11x=15x\) volt, így \(x=7\) behelyettesítésével megkapjuk a választ a feladat kérdésére, azaz \(7\cdot 15=105\) vendég volt eredetileg az étteremben. Ezt követően természetesen visszahelyettesíthetnénk \(x=7\) értéket a táblázatba és egyéb adatokat is leolvashatnánk. Például eredetileg és az újonnan érkezett vendégeket is figyelembe véve \(11x=11\cdot 7=77\) vendég fogyasztott teát.
Az ábrát már csak \(x=7\) ismeretében tudjuk elkészíteni, de jól szemlélteti a változást.
Módosított feladat
A fenti feladatban felírt táblázat első három oszlopa általánosságban is használható, azonban az adatok közti kapcsolattól függően az utolsó oszlop változhat, illetve előfordulhat, hogy egy további sor beiktatása célravezető lehet.
Ha az előző feladat végén nem az újonnan jött társasággal kiegészült vendégek két csoportjának az aránya lenne megadva, hanem például az eredeti és az újonnan érkezett társasággal kiegészült, kávét fogyasztó vendégek aránya lenne megadva, akkor a táblázat a következőképpen alakulna. Az arány legyen \(28:33\).
Táblázat II.
Kávét fogyasztók száma Teát fogyasztók száma
Eredetileg a vendégek száma
\(4x\)
 \(11x\)
Újonnan érkezett vendégekkel az összes vendég száma
\(4x+5\)
 \(11x\)
Az azonos italt fogyasztók aránya
\(4x:(4x+5)=28:33\)
 –
Megoldás
Az egyenlet ismét adott a táblázatban, amelyet meg kell oldni: \[ \begin{aligned} \frac{4x}{4x+5}&=\frac{28}{33}\\ 33\cdot 4\cdot x&=28\cdot (4x+5)\\ 132x&=112x+140\\ 20x&=140\\ x&=7\\ \end{aligned}\notag \]
A feladat befejezése megegyezik az előző feladatéval.
1. feladat

2. Típuspélda: mennyi marad a végén?

Feladat
Egy kerékpár túra első napján a teljes út \(\dfrac{2}{5}\)-ét tették meg, míg a második napon a harmadát. A harmadik, utolsó napra \(24\,km\) táv maradt a túra végéig. Hány kilométer volt a három napos túra teljes távolsága?
Ábra
1. nap 2. nap 3.nap Összesen
\(\dfrac{2}{5}\) \(\dfrac{1}{3}\) \(m=?\) \(1\)
\(? km\) \(? km\) \(24\,km\) \(x\,km\)
Megoldás
A megoldáshoz készítettünk egy ábrát és egy táblázatot is. A kettő együttes alkalmazása nem szükséges, talán az ábra adhat nagyobb segítséget. Az ábránál (a táblázatnál is) fontos, hogy az arányokat és a \(km\)-ben megadott értékeket külön kezeljük. Ennek megfelelően az egyes napokon megtett távokat jelző színes négyzetek felett a \(km\)-ben, alatta pedig a teljes úthoz viszonyított napi arányokat tüntettük fel.
A megoldáshoz szükséges összefüggést a feladat nem mondja ki, csak áttételesen jelenik meg benne: az egyes napokon megtett útszakasz arányok összege 1. \[ \begin{aligned} \frac{2}{5}+\frac{1}{3}+m&=1\\ \frac{6}{15}+\frac{5}{14}+m&=1\\ \frac{6+5}{15}+m&=1\\ m&=1-\frac{11}{15}\\ m&=\frac{4}{15} \end{aligned}\notag \]
Az ábrán két zöld nyíl található, amelyből az ábra alatt a fentiekben felhasznált összefüggést jelöli. A jobb oldali zöld nyíl azt jelenti, hogy ha az út teljes hosszát \(x\)-szel jelöljük, akkor \(m\cdot x=24\). (Hasonlóan igaz a kékkel és a bordóval jelölt szakaszokra is.) \[ \begin{aligned} m\cdot x&=24\\ \frac{4}{15}\cdot x&=24\\ x&=90\,km\\ \end{aligned}\notag \]
Tehát a válasz: a három napos túra teljes hossza \(90\,km\). \(x=90\,km\) ismeretében az első és második napon megtett táv is kiszámítható, amely rendre \(36\,km\) és \(30\,km\).
1. feladat

3. Típuspélda: halmozott arányok

Feladat
Egy középiskolába jelentkezők kétfordulós felvételi eljáráson vesznek részt. A jelentkezők \(\dfrac{1}{21}\)-ed része nem ment el az elsőkörös felvételire, ahol a diákok \(\dfrac{7}{8}\)-ad része teljesítette az elvárt szintet. Az utolsó fordulót a továbbjutók \(0,2\)-e teljesítette, így 28 tanulót vettek fel. Hány diák jelentkezett a felvételire?
Ábra I.
Megoldás
Az ábrát már az eredmény ismeretében készítettük el, azonban a megértéshez sokat segíthet és a megoldáshoz lényegében csak a zöld nyilakra írt számoknak és műveleti jeleknek van jelentőssége.
A feladat szövegének lépéseit az ábra alatti zöld nyilak jelölik, amelynek a fordítottját végezzük el a megoldás során, az ábra feletti zöld nyilak jelölését követve. \[ \begin{aligned} \left(\left(28:0,2\right):\frac{7}{8}\right):\frac{20}{21}\\ \left(\left(28:\frac{2}{10}\right):\frac{7}{8}\right):\frac{20}{21}\\ \left(\left(28\cdot\frac{10}{2}\right)\cdot\frac{8}{7}\right)\cdot\frac{21}{20}\\ \left(140\cdot\frac{8}{7}\right)\cdot\frac{21}{20}\\ 160\cdot\frac{21}{20}\\ 168\\ \end{aligned}\notag \]
Tehát 168-an jelentkeztek az adott középiskolába.
Ugyanerre az eredményre jutottunk volna, ha a következő egyenletet írjuk fel az alsó zöld nyilak által jelölt logika mentén: \[ \begin{aligned} 28&=\left(\left(x\cdot \dfrac{20}{21}\right)\cdot\frac{7}{8}\right)\cdot 0,2\\ \end{aligned}\notag \]
Módosított feladat
Egy középiskolába jelentkezők kétfordulós felvételi eljáráson vesznek részt. A jelentkezők \(\dfrac{5}{6}\)-od része és még 20 fő nem ment el az elsőkörös felvételire, ahol a diákok \(\dfrac{2}{3}\)-ad része teljesítette az elvért szintet. Az utolsó fordulót a továbbjutók \(0,4\)-e teljesítette, így 32 tanulót vettek fel. Hány diák jelentkezett a felvételire?
Ábra II.
Megoldás
A feladatot módosítottuk, hogy a továbbjutók ne csak az előzőek bizonyos hányada legyen, hanem ezen felül még adott számú diákkal is csökken a felvételizők száma.
A megoldást az előző feladat végén bemutatott módszerrel fogjuk levezetni. \[ \begin{aligned} 32&=\left(\left(x\cdot \dfrac{5}{6}-20\right)\cdot\frac{2}{3}\right)\cdot 0,4\\ 32&=\left(x\cdot \dfrac{5}{6}\cdot\frac{2}{3}-20\cdot\frac{2}{3}\right)\cdot 0,4\\ 32&=\left(x\cdot \dfrac{5}{9}-\frac{40}{3}\right)\cdot \frac{4}{10}\\ 32&=x\cdot \dfrac{5}{9}\cdot\frac{4}{10}-\frac{40}{3}\cdot\frac{4}{10}\\ 32&=x\cdot \dfrac{2}{9}-\frac{16}{3}\\ 288&=2x-48\\ 336&=2x\\ x&=168 \end{aligned}\notag \]
Az eredmény megegyezik az előző feladat eredményével, azaz 168 diák jelentkezett az adott középiskolába.
1. feladat

4. Típuspélda: arányok keresztben-hosszában

Feladat
Egy partira háromféle desszertet készítenek: gyümölcssalátát, fagylaltot és fagyit csümölccsel. Összesen 60 vendéget hívtak meg, akik közül 9 nem szereti a fagylaltot. A meghívottak \(\dfrac{7}{12}\)-e szereti a gyümölcsöt. Azoknak az \(\dfrac{1}{5}\)-e nem szereti a fagyit, akik szeretik a gyümölcsöt. A vendégek csak olyan édességet ettek a partin, amelynek minden hozzávalóját szeretik. Hány olyan vendég volt, aki nem tudott desszertet választani, azaz se a fagyit se a gyümölcsöt nem szereti? Mennyi volt a gyümölcssalátát és a gyümölcs nélküli fagylaltot választók aránya?
Táblázat I.
Szereti a gyümölcsöt Nem szereti a gyümölcsöt Összesen (fő/arány)
Szereti a fagyit a b \(60-9=51\)
c d e
Nem szereti a fagyit f g 9
\(\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{1}{5}\) h i
Összesen (fő/arány) \(60\cdot\dfrac{7}{12}=35\) j 60
\(\dfrac{7}{12}\) k l
Megoldás
A megoldást a táblázat segítségével követhetjük végig, amelyet lépésenként töltünk ki. Sötét kékkel jelöltük azokat a mezőket, amelyek a feladat szövegéből adódnak, a zöld részek pedig azokat az adatokat jelölik, amelyek a válaszokat adják (vagy ahhoz közvetlenül kellenek). Fontos, hogy minden mezőbe úgy írjuk be a számokat (ha lehetséges), hogy minden arány az összess meghívott vendég számához legyen viszonyítva. Ha nem tudunk minden mezőt az összes vendég számához viszonyítani, akkor mindenképpen figyelni kell arra, hogy az adott arány mire vonatkozik. Ennek megfelelően azok aránya, akik szeretik a gyümölcsöt, de nem szeretik a fagyit, a meghívott vendégek \(\dfrac{7}{12}\)-nek az \(\dfrac{1}{5}\)-e. Az eredeti táblázatba a feladat adataiból közvetlenül számolható értékeket világos kékkel jelöltük.
A megoldást lényegében a táblázat kitöltésével kapjuk meg. A következőkben az egyes lépések sorszámát az eredmények mögé beírjuk a táblázatba és minden számításhoz az előzőek eredményét már felhasználjuk, ha szükséges.
  1. \(j=60-35=25\)
  2. \(f=\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot 60=7\)
  3. \(g=9-7=2\)
  4. \(b=25-2=23\)
A feladat első kérdésére megkaptuk a választ, amelyet a \(g\) jelű mező tartalmaz, azaz \(2\) vendég volt, akik nem tudtak desszertet választani.
A gyümölcssalátát és a gyümölcs nélküli fagylaltot választók aránya \(f:b=7:23\).
A táblázat többi cellái is számíthatóak lennének az adatokból, de a feladat megoldásának szempontjából nincs szükségünk rá.
Szereti a gyümölcsöt Nem szereti a gyümölcsöt Összesen (fő/arány)
Szereti a fagyit a 23 (4) \(60-9=51\)
c d e
Nem szereti a fagyit 7 (2) 2 (3) 9
\(\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{1}{5}\) h i
Összesen (fő/arány) \(60\cdot\dfrac{7}{12}=35\) 25 (1) 60
\(\dfrac{7}{12}\) k l
1. feladat
1 2 3 4 5 6

Hasznos tudnivalók

Ha megnyitsz egy iFeladatot, akkor még mielőtt elkezdenéd a megoldást, találhatsz néhány hasznos információt, mint például milyen előismeretekre épít a feladat, egy rövid leírást, a nehézségi szintet. Ezek ismeretében eldöntheted, hogy ezt folytatod, egy másik példát nézel, vagy előtte átnézed az ide vonatkozó elméleti részt, akár az iMatek.hu segítségével (előfizetés esetén).

Az iFeladatok megoldása során, az oldal alján néha megjelenik a “Tipp” gomb, amely segítséget nyújt a válaszadásban. Fontos, hogy a feladaton belüli kérdések egymásra épülnek, és nincs mód az egye rész kérdések átugrására, vagy visszalépésre.

A válaszaid a feladat végén értékelésre kerülnek, összefoglaló táblázatban megjelennek a kérdése, a lehetséges, az általad megjelölt és a helyes válaszok is. Az összefoglaló oldalon megtalálhatod, hogy mennyi időt töltöttél a feladattal, hány pontot értél el, és az hány százalékos teljesítménynek felel meg. Helytelen válasz esetén gyakran rövid megjegyzést kapsz, amely segíthet megtalálni a hiba okát.

Nehézségi szintek jelentése

Emelt szintű matematika tudás esetén elsősorban a figyelem meglétére, az összpontosításra és a precíz munkára fókuszál.

Összetett feladat, gondolatmenetében több különböző lépésre van szükség. Emelt szintű matek tudás esetén elmélyíti az ismereteket, segít a rutin megszerzésében.

Egyedi megoldási lépéseket tartalmaz a feladat, mindenképpen időt és erőfeszítést igényel a megoldása emelt szintű matek felkészültség esetén is. Elsődleges célja, hogy fejlessze a gondolkodást és felkészítsen a “váratlan” feladatokra.

Kapcsolat

Dokumentumok

Pénzügyi Partnerünk

CIB Bank

Elfogadott kártyák

Bankkártyák

    Írj nekünk!



    Facebook Map-marker-alt

    Ügyfélszolgálat

    • Telefon: +36 30 427-6190
    • hétfő-péntek: 8:00-16:00
      Copyright © iMatek 2020-2024