iMatek

Statisztikai kalkulátorok

  • f-próba, hipotézisvizsgálat, khi-négyzet-próba, t-próba, z-próba

Egyetemi jegyzetek

Picture of matematikai alkalmazások

matematikai alkalmazások

Matematikai érdekességek, amelyek jól jöhetnek az érettségin vagy a felvételin is.

Alkalmazások
stat_calc

Oszd meg, ha tetszik!

Statisztikai kalkulátorok hipotézisvizsgálathoz

Standard normális eloszlás \(z_p\) meghatározása


\(\Phi(z)\)
\(z\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
\(\vdots\)
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9572 0,9682 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
\(\vdots\)
z-érték keresése p-érték alapján
Előzetes ismeretek
  1. A táblázat a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényének értékeit tartalmazza. Ez azt jelenti, hogy egy adott \( z \)-értékhez tartozó táblázatbeli szám (\( P(Z \leq z) \)) megadja a z-től balra eső értékekre, a sűrűségfüggvény alatti területet.
  2. A valószínűség (\( P(Z \leq z) \)) értéke a \( p \)-érték.
Táblázat felépítése
  1. Az első oszlop mutatja a z-érték egész szám részét és tizedesjegyét (pl. \( z = 1,6 \)).
  2. A táblázat felső sorában a tizedesjegyek második helyi értéke van (pl. 0,05).
  3. A metszéspontban található érték adja meg a valószínűséget (\( P(Z \leq z) \)).
Keresés a táblázatban
Ha a p-érték (azaz a valószínűség) ismert, akkor a következő lépésekkel határozható meg a z-érték:
  1. Keressük meg a táblázatban a p-értéket:
    • Keressük meg azt a cellát a táblázat belsejében, amely a legközelebbi \( P(Z \leq z) \) értéket tartalmazza az ismert \( p \)-értékhez
    • Mivel a táblázatok általában csak négy tizedesjegy pontossággal adják meg a kumulatív valószínűségeket, sokszor csak közelítő értéket fogunk találni.
  2. Határozzuk meg a megfelelő z-értéket:
    • Az első oszlopból olvassuk ki a z-érték egész részét és első tizedesjegyét (pl. \( 1,6 \)).
    • A megfelelő oszlopból (felső sor) olvassuk ki a második tizedesjegyet (pl. 0,05).
    • A kettőt összefűzve kapjuk meg a z-értéket (pl. \( z = 1,65 \)).
Tegyük fel, hogy \( p = 0,95 \):
  • A táblázatban megkeressük a \( P(Z \leq z) = 0,95 \)-hoz legközelebbi értéket.
  • Ez a \( z = 1,65 \)-höz tartozik.
  • Tehát \( p = 0.9505 \) esetén a z-érték \( z = 1,65 \).

t-eloszlás \(t_p(\nu)\) meghatározása



\(t_p(\nu))\)
\(p\)
\(\nu\) 0,55 0,60 0,70 0,75 0,80 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995
\(\vdots\)
7 0,130 0,263 0,549 0,711 0,896 1,42 1,90 2,36 3,00 3,50
8 0,130 0,262 0,546 0,706 0,889 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36
9 0,129 0,261 0,543 0,703 0,883 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25
\(\vdots\)
t-érték keresése p és \(\nu\) értékek alapján
Előzetes ismeretek
  1. A táblázat a Student-féle \( t \)-eloszlás eloszlásfüggvényéhez tartozó valószínűségeket tartalmazza.
  2. A t-eloszlás nemcsak a t-értéktől, hanem a (\( \nu=n-1 \)) szabadságfokoktól is függ, amelyek a minta (\( n \)) elemszámából származnak.
  3. A táblázat értékei egyoldali vagy kétoldali próbákhoz tartozó kritikus értékek (\( t_{\text{kritikus}} \)) meghatározásához, adott (\( \alpha \)) szignifikancia szint és \(\nu\) szabadságfokok mellett.
Táblázat felépítése
  1. Szabadságfokok (\( \nu \)): A táblázat első oszlopában szerepelnek.
  2. Szignifikancia szintek (\( \alpha \)): Az oszlopfejlécben találhatók, és a p-értékekre vonatkoznak.
Keresés a táblázatban
  1. A szabadságfok alapján menjünk végig az első oszlopon, és keressük meg a \( \nu \)-höz legközelebb eső értéket.
  2. A megfelelő \( p=1-\alpha \) érték oszlopában nézzük meg a metszéspontban lévő t-értéket.
Tegyük fel, hogy:
  1. \( \alpha = 0,05 \),
  2. A minta elemszáma \( n = 9 \), így \( \nu = 8 \).
  3. A \( p=1- \alpha = 0,95 \) értéket megkeressük az első sorban.
  4. A táblázatban \( \nu = 8 \)-hoz és \( p = 0,95 \)-höz tartozó t-érték: \( t_{0,95}(8) = 1,86 \).

\(\chi^2\)-eloszlás \(\chi^2_p(\nu)\) meghatározása



\(\chi^2(\nu)\)
\(p\)
\(\nu\) 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,25 0,50 0,75 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995
\(\vdots\)
8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 5,07 7,34 10,2 13,4 15,5 17,5 20,1 22,0
9 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 5,90 8,34 11,4 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6
10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,74 9,34 12,5 16,0 18,3 20,5 23,2 25,2
\(\vdots\)
\(\chi^2\)-érték keresés p és \(\nu\) értékek alapján
Előzetes Ismeretek
  1. A \(\chi^2\)-táblázat a khi-négyzet eloszlás eloszlásfüggvényéhez tartozó értékeket tartalmazza különböző (\(\nu\)) szabadságfokok mellett.
  2. A (\(\nu\)) szabadságfok meghatározza az eloszlás alakját, és a következőképpen számíthatók:
    \[ \begin{aligned} \nu = n – 1 \quad \text{(mintanagys\’ag – 1)}. \end{aligned}\notag \]
Táblázat felépítése
  1. Az első oszlop a (\(\nu\)) szabadságfokokat tartalmazza.
  2. Az oszlopfejléc a p-értékeket (szignifikancia szinteket, \(\alpha\)) adja meg.
  3. A metszéspontban található a \(\chi^2\)-érték.
Keresés a táblázatban
  1. Szabadságfok kiválasztása
    • Számítsuk ki a szabadságfokokat a konkrét feladat alapján.
    • Például, ha szórásra vonatkozó próba során 10 elemű a minta, akkor \(\nu = 10-1 = 9\).
  2. p-érték (szignifikancia szint) megkeresése
    • Keressük meg a táblázat fejlécében a p-értéket vagy az ahhoz legközelebbi értéket.
    • Például, ha \(p = 0,05\), akkor a táblázat megfelelő oszlopában kell keresnünk.
  3. Szabadságfok és p-érték metszéspontja
    • Az adott \(\nu\)-hez és \(p\)-értékhez tartozó metszéspontban találjuk a \(\chi^2\)-értéket.
Tegyük fel, hogy:
  1. \(\nu = 9\),
  2. \(p = 0,05\).
  3. A táblázatban \(\nu = 9\) és \(p = 0,05\) metszéspontjában a kritikus érték: \(\chi^2 = 3,33\)

F-eloszlás \(F_{\nu_1,\nu_2}(p)\) meghatározása




F-eloszlás \(p=0,975\)
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \nu_2&\nu_1=1&\nu_1=2&\nu_1=3&\nu_1=4&\nu_1=5&\nu_1=6&\nu_1=7&\nu_1=8&\nu_1=9&\nu_1=10&\cellcolor{#cf223b}{\color{#ffffff}{\nu_1=11}}&\nu_1=12&\nu_1=13&\cellcolor{#cf223b}{\color{#ffffff}{\nu_1=14}}&\nu_1=15\\ \hline 1&647,789& 799,5& 864,163& 899,583& 921,848& 937,111& 948,217& 956,656& 963,285& 968,627& \cellcolor{#77eb2c}{973,025}& 976,708& 979,837& \cellcolor{#77eb2c}{982,528}& 984,867\\ \hline 2&38,5063& 39& 39,1655& 39,2484& 39,2982& 39,3315& 39,3552& 39,373& 39,3869& 39,398& \cellcolor{#77eb2c}{39,4071}& 39,4146& 39,421& \cellcolor{#77eb2c}{39,4265}& 39,4313\\ \hline 3&17,4434& 16,0441& 15,4392& 15,101& 14,8848& 14,7347& 14,6244& 14,5399& 14,4731& 14,4189& \cellcolor{#77eb2c}{14,3742}& 14,3366& 14,3045& \cellcolor{#77eb2c}{14,2768}& 14,2527\\ \hline 4&12,2179& 10,6491& 9,9792& 9,60453& 9,36447& 9,19731& 9,07414& 8,97958& 8,90468& 8,84388& \cellcolor{#77eb2c}{8,79354}& 8,75116& 8,715& \cellcolor{#77eb2c}{8,68377}& 8,65654\\ \hline 5&10,007& 8,43362& 7,76359& 7,38789& 7,14638& 6,9777& 6,85308& 6,75717& 6,68105& 6,61915& \cellcolor{#77eb2c}{6,56782}& 6,52455& 6,48758& \cellcolor{#77eb2c}{6,45563}& 6,42773\\ \hline 6&8,8131& 7,25986& 6,5988& 6,22716& 5,98757& 5,81976& 5,69547& 5,59962& 5,52341& 5,46132& \cellcolor{#77eb2c}{5,40976}& 5,36624& 5,32902& \cellcolor{#77eb2c}{5,29681}& 5,26867\\ \hline 7 &8,07267& 6,54152& 5,88982& 5,52259& 5,28524& 5,1186& 4,99491& 4,89934& 4,82322& 4,76112& \cellcolor{#77eb2c}{4,70947}& 4,66583& 4,62846& \cellcolor{#77eb2c}{4,59609}& 4,56779\\ \hline 8&7,57088& 6,05947& 5,41596& 5,05263& 4,81728& 4,6517& 4,52856& 4,43326& 4,35723& 4,29513& \cellcolor{#77eb2c}{4,24341}& 4,19967& 4,16217& \cellcolor{#77eb2c}{4,12967}& 4,10121\\ \hline 9&7,20928& 5,71471& 5,07812& 4,71808& 4,48441& 4,31972& 4,19705& 4,10196& 4,02599& 3,96387& \cellcolor{#77eb2c}{3,91207}& 3,86822& 3,8306& \cellcolor{#77eb2c}{3,79795}& 3,76936\\ \hline 10&6,93673& 5,4564& 4,82562& 4,46834& 4,23609& 4,07213& 3,94982& 3,85489& 3,77896& 3,71679& \cellcolor{#77eb2c}{3,66491}& 3,62095& 3,58319& \cellcolor{#77eb2c}{3,55041}& 3,52167\\ \hline \cellcolor{#cf223b}{\color{#ffffff}{11}}&\cellcolor{#77eb2c}{6,72413}& \cellcolor{#77eb2c}{5,25589}& \cellcolor{#77eb2c}{4,63002}& \cellcolor{#77eb2c}{4,27507}& \cellcolor{#77eb2c}{4,044}& \cellcolor{#77eb2c}{3,88065}& \cellcolor{#77eb2c}{3,75864}& \cellcolor{#77eb2c}{3,66382}& \cellcolor{#77eb2c}{3,5879}& \cellcolor{#77eb2c}{3,52567}& \cellcolor{#77eb2c}{3,4737}& \cellcolor{#77eb2c}{3,42961}& \cellcolor{#77eb2c}{3,39173}& \cellcolor{#ffab00}{3,35881}& 3,32993\\ \hline 12&6,55377& 5,09587& 4,47418& 4,12121& 3,89113& 3,72829& 3,60651& 3,51178& 3,43585& 3,37355& \cellcolor{#77eb2c}{3,32148}& 3,27728& 3,23926& 3,20621& 3,1772\\ \hline 13&6,41425& 4,96527& 4,34718& 3,9959& 3,76667& 3,60426& 3,48267& 3,38799& 3,31203& 3,24967& \cellcolor{#77eb2c}{3,1975}& 3,15318& 3,11504& 3,08185& 3,05271\\ \hline \cellcolor{#cf223b}{\color{#ffffff}{14}}&\cellcolor{#77eb2c}{6,29794}& \cellcolor{#77eb2c}{4,8567}& \cellcolor{#77eb2c}{4,24173}& \cellcolor{#77eb2c}{3,89191}& \cellcolor{#77eb2c}{3,66342}& \cellcolor{#77eb2c}{3,50136}& \cellcolor{#77eb2c}{3,37993}& \cellcolor{#77eb2c}{3,28529}& \cellcolor{#77eb2c}{3,2093}& \cellcolor{#77eb2c}{3,14686}& \cellcolor{#ffab00}{3,09459}& 3,05015& 3,01189& 2,97859& 2,94932\\ \hline 15&6,1995& 4,76505& 4,1528& 3,80427& 3,57642& 3,41466& 3,29336& 3,19874& 3,12271& 3,0602& 3,00783& 2,96328& 2,9249& 2,89148& 2,86209\\ \hline \end{array}\notag \]
F-érték meghatározása p, \(\nu_1\) és \(\nu_2\) értékek alapján
Előzetes ismeretek
  1. Az F-táblázat az eloszlásfüggvény értékeit tartalmazza adott (\( p\)) valószínűség, valamint a két szabadságfok (\( \nu_1 \) és \( \nu_2 \)) alapján.
  2. Szabadságfokok
    • \( \nu_1 \): A számláló szabadságfoka (az első minta szórása – 1, \( s_1 – 1 \)).
    • \( \nu_2 \): A nevező szabadságfoka (a második minta szórása, \( s_2 – 1 \)).
  3. p-értékek és szignifikancia szintek: Az \(\alpha\) szignifikancia szintek alapján meghatározható a (\( p \)) valószínűség, amelyek alapján kiválasztható a megfelelő táblázat.
Táblázat felépítése
  1. Valószínűségek: A különböző \(p\) értékekre külön táblázatok készülnek, amelyek a két szabadságfok szerinti F-értékeket tartalmazzák.
  2. Sorok: Az F-táblázat első oszlopa a nevező szabadságfokát (\( \nu_2 \)) mutatja.
  3. Oszlopok: Az F-táblázat oszlopfejléce a számláló szabadságfokát (\( \nu_1 \)) tartalmazza.
  4. Metszéspont: A megfelelő \( \nu_1 \) és \( \nu_2 \) értékek metszéspontjában található az adott \(p\)-hez tartozó kritikus F-érték.
Keresés a táblázatban
  1. Szabadságfokok számítása
    • Számláló szabadságfoka: \( \nu_1 = n_1-1 \), ahol \( n_1 \) az első minta elemeinek száma.
    • Nevező szabadságfoka: \( \nu_2 = n_2-1 \), ahol \( n_2 \) a második minta elemeinek száma.
  2. p-érték kiválasztása
    • Egyoldali F-tesztnél \(p=1-\alpha\).
    • Kétoldali F-tesztnél \(p=1-\alpha/2\).
  3. Táblázatbeli keresés
    • Keressük meg a táblázatban a megfelelő \( \nu_1 \) (oszlop) és \( \nu_2 \) (sor) értékek metszéspontját a kívánt \( p \) valószínűség mellett az F-értéket.
Tegyük fel, hogy:
  • Két szórást hasonlítunk össze (\( n_1=12 \) és \(n_2=15\)),
  • \( p = 1-\alpha=1-0,025=0,975 \).
  1. Számoljuk ki a szabadságfokokat:
    \[ \begin{aligned} \nu_1 &= n_1-1=12-1=11\\ \nu_2 &= n_2-1=15-1=14 \end{aligned}\notag \]
  2. Keressük meg az \( F_{\nu1,\nu2}(0,975) \)-t a táblázatban.
    \[ \begin{aligned} F_{11,14}(0,975) = 3,095 \end{aligned}\notag \]

Érdekességek

További alkalmazások

Most kedvező áron az előkészítő csomag

2023 iFeladatok I.

Interaktív feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
4.590 Ft 2022/23 tanévre
  • 20 iFeladat automatikus javítással
  • 19 témakör
  • 121 megoldási lépés
  • Megoldássegítő felépítés
  • 2,15 átlagos nehézség (1-3 skálán)
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

2023 Emelt szintű
matematika előkészítő

Kidolgozott feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
59.900 Ft 2022/23 tanévre
  • 25 kidolgozott témakör
  • Több mint 200 kidolgozott példa
  • 13 interaktív feladatsor
  • 21 elméleti összefoglaló
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelményekkel kiegészítve
  • 25 szóbeli tétel - teljes tételsor
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

2023 Középszintű matematika kurzusok

Tananyag középszintű matematika felkészüléshez
1.750 Ft 2022/23 tanévre, kurzusonként
  • Témakörönkénti előfizetés
  • Megértést segítő magyarázat
  • Definíciók, tételek
  • Kidolgozott típuspéldák
  • Online feladatok, azonnali javítással
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelmények alapján
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

Kapcsolat

Dokumentumok

Pénzügyi Partnerünk

CIB Bank

Elfogadott kártyák

Bankkártyák

    Írj nekünk!



    Facebook Map-marker-alt Tiktok

    Ügyfélszolgálat

    • Telefon: +36 30 427-6190
    • hétfő-péntek: 8:00-16:00

    Vásárlási kisokos

      Copyright © iMatek 2020-2024 – Minden jog fenntartva