1. Diofantoszi egyenlet
Oldjuk meg az alábbi egyenletet, ahol \(a,b\in\mathbb{N}\).
\[
\begin{aligned}
a^2-b^2=2025\\
\end{aligned}\notag
\]
Felhasználjuk az \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) azonosságot, illetve a \(2025\) osztópárjaira:
\[
\begin{aligned}
1\cdot 2025&=2025\\
3\cdot 675&=2025\\
5\cdot 405&=2025\\
9\cdot 225&=2025\\
15\cdot 135&=2025\\
25\cdot 81&=2025\\
27\cdot 75&=2025\\
45\cdot 45&=2025\\
\end{aligned}\notag
\]
A fenti eseteket egyenkét meg kell oldani pl.:
\[
\left\{
\begin{aligned}
a+b=75 \\
a-b=27 \\
\end{aligned}\notag
\right.\implies (a;b)=(51;24)
\]
Az összes megoldás:
\[
\begin{aligned}
(a;b)&=(1013;1012)\\
(a;b)&=(339;336)\\
(a;b)&=(205;200)\\
(a;b)&=(117;108)\\
(a;b)&=(75;60)\\
(a;b)&=(53;28)\\
(a;b)&=(51;24)\\
(a;b)&=(45;0)\\
\end{aligned}\notag
\]
Két egymást követő természetes szám \((1012,\;1013)\) négyzetének különbsége is lehet 2025, azaz \(1013^2-1012^2=2025\).
2. Nikomakhos tétele
A 2025 kapcsolódik Nikomakhos híres tételéhez, amely szerint az első \(n\) pozitív egész szám köbének összege megegyezik az első \(n\) pozitív egész szám összegének négyzetével. Például az első 9 szám köbeinek összege
\[
\begin{aligned}
1^3+2^3+3^3+\ldots+9^3=(1+2+3+\ldots+9)^2=2025
\end{aligned}\notag
\]
Általánosságban, az első \(n\) szám köbének összege:
\[
\begin{aligned}
1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
\end{aligned}\notag
\]
3. 2025, mint háromszögszámok összege
Háromszög számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyek az alábbi ábrán látható, egyenlő oldalú háromszöget formázó alakzatban található pontok számából kerülnek kialakításra.
| \(n=1\) |
\(\bullet\) |
\(T_1=1\) |
| \(n=2\) |
\(\bullet\)
\(\bullet\,\bullet\) |
\(T_2=3\) |
| \(n=3\) |
\(\bullet\)
\(\bullet\,\bullet\)
\(\bullet \bullet \bullet\) |
\(T_3=6\) |
| \(n\) |
\[
\begin{array}{c}
\vdots
\end{array}\notag
\] |
\(T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) |
A fenti jelölésekkel:
\[
\begin{aligned}
2025=T_{43}+T_{44}=\frac{45\cdot 46}{2}+\frac{44\cdot 45}{2}=1035+990\\
\end{aligned}\notag
\]
4. \(9×9\)-es négyzetháló
\(9×9\)-es négyzetháló hány téglalapot határoz meg?
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{0}&\phantom{0}&\phantom{0}&\phantom{0}&\phantom{0}&\phantom{0}&\phantom{0}&\phantom{0}&\phantom{0}\\
\hline
\:&\cellcolor{#71abff}{\;}&\cellcolor{#71abff}{\;}&\cellcolor{#71abff}{\;}&\:&\:&\:&\:&\:\\
\hline
\:&\cellcolor{#71abff}{\;}&\cellcolor{#71abff}{\;}&\cellcolor{#71abff}{\;}&\:&\:&\:&\:&\:\\
\hline
\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:\\
\hline
\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:\\
\hline
\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:\\
\hline
\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:\\
\hline
\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:\\
\hline
\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:&\:\\
\hline
\end{array}\notag
\]
Bármely téglalap oldala illeszkedik a fenti négyzetháló valamely vonalára, azaz a \(10\) vízszintes vonalból és a \(10\) függőlegesből is \(2-2\)-t kell kiválasztani és a lehetőségek számát szorozni.
\[
\begin{aligned}
\binom{10}{2}\cdot\binom{10}{2}=45\cdot 45=2025
\end{aligned}\notag
\]
Általában \(nxn\)-es négyzetrács vonalai által meghatározott téglalapok száma:
\[
\begin{aligned}
\binom{n+1}{2}\cdot\binom{n+1}{2}=4\binom{n+1}{2}^2
\end{aligned}\notag
\]
5. \(9×9\)-es szorzótábla
\(9×9\)-es négyzetháló első sorába és első oszlopába írjuk \(1\)-től \(9\)-ig a számokat. A többi mezőbe írjuk a sor elején és az oszlop tetején lévő számok szorzatát
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
2&4&6&8&10&12&14&16&18\\
\hline
3&6&9&12&15&18&21&24&27\\
\hline
4&8&12&16&20&24&28&32&36\\
\hline
5&10&15&20&25&30&35&40&45\\
\hline
6&12&18&24&30&36&42&48&54\\
\hline
7&14&21&28&35&42&49&56&63\\
\hline
8&16&24&32&40&48&56&64&72\\
\hline
9&18&27&36&45&54&63&72&81\\
\hline
\end{array}\notag
\]
A táblázatban szereplő számok összege \(2025\)
\[
\begin{aligned}
1+2+\ldots+9&=45\\
2+4+\ldots+18&=2\cdot 45\\
3+6+\ldots+27&=3\cdot 45\\
4+8+\ldots+36&=4\cdot 45\\
5+10+\ldots+45&=5\cdot 45\\
6+12+\ldots+54&=6\cdot 45\\
7+14+\ldots+63&=7\cdot 45\\
8+16+\ldots+72&=8\cdot 45\\
9+18+\ldots+81&=9\cdot 45\\
\end{aligned}\notag
\]
A fenti sorok összege
\[
\begin{aligned}
(1+2+\ldots+9)\cdot 45=45\cdot 45=2025\\
\end{aligned}\notag
\]
Copyright © iMatek 2020-2024 – Minden jog fenntartva
