Képzeljük el, hogy van \(n\) különböző színű golyónk, amelyeket \(k\) egyforma dobozba szeretnénk elhelyezni. A szabály az, hogy minden dobozba legalább egy golyót kell tennünk, tehát nem lehetnek üres dobozok. Hogyan találhatjuk meg, hányféleképpen rendezhetjük el a golyókat a dobozokba?
Ez a probléma valójában egy jól ismert kombinatorikai feladat, amelynek a megoldását a Stirling-számok adják. De mit is jelentenek ezek a számok, és hogyan segítenek nekünk a golyók rendezésében?
Mi is az a Stirling-szám?
A Stirling-számok (elsőfajú és másodfajú Stirling-számok is léteznek, de most a másodfajú Stirling-számokról beszélünk) azt fejezik ki, hogy hányféleképpen lehet \(n\) különböző elemet \(k\) nem üres részhalmazra felosztani. Ebben az esetben a mi elemeink a golyók, a részhalmazok pedig a dobozok, amelyekbe a golyókat tesszük.
A Stirling-számok tehát megadják, hogy hányféleképpen lehet az \(n\) különböző golyót elhelyezni \(k\) olyan dobozba, hogy egyik doboz se maradjon üresen.
Példa: 3 golyó és 2 doboz
Vegyünk egy egyszerű példát: van \(3\) különböző golyónk (mondjuk piros, kék, és zöld), és ezeket szeretnénk \(2\) dobozba elhelyezni úgy, hogy mindkét dobozban legyen legalább egy golyó.
Nézzük meg, milyen lehetőségeink vannak:
1. Az egyik dobozban két golyó lehet, a másikban pedig egy.
Elrendezések:
– Az első dobozban a piros és a kék golyó, a másikban a zöld.
– Az első dobozban a piros és a zöld golyó, a másikban a kék.
– Az első dobozban a kék és a zöld golyó, a másikban a piros.
Ebben a konkrét esetben tehát összesen \(3\) különböző módon tudjuk a golyókat elosztani \(2\) doboz között úgy, hogy minden dobozban legyen legalább egy golyó. Ezt a számot a Stirling-számok adják meg, és ezt úgy írjuk le, hogy \( S(3, 2) = 3 \).
Általános megoldás Stirling-számokkal
Ha \(n\) golyót szeretnénk \(k\) nem üres dobozba helyezni, akkor a Stirling-szám \( S(n, k) \) megadja, hányféleképpen lehet ezt megtenni. Ezt a számot nem könnyű képlettel kifejezni, de vannak táblázatok és algoritmusok, amelyek segítenek ezeknek a számoknak a kiszámításában.
Például:
– \( S(4, 2) = 7 \): \(4\) különböző golyót \(2\) dobozba \(7\) különböző módon tudunk elhelyezni.
– \( S(5, 3) = 25 \): \(5\) különböző golyót \(3\) dobozba \(25\) különböző módon oszthatunk el.
Hogyan számoljuk ki a Stirling-számokat?
A Stirling-számok kiszámítása a következő rekurziós képleten alapul:
Ez azt jelenti, hogy egy adott Stirling-számot előző számok alapján számíthatunk ki. Az intuíció mögötte az, hogy az \(n\)-edik golyót vagy egy már létező dobozba tesszük (ami \(k\) féleképpen történhet), vagy egy új dobozt nyitunk neki (ami csak egyféleképpen lehetséges).
A Stirling-számok egy nagyon hasznos eszközt adnak a kezünkbe, ha különböző elemeket (például golyókat) egyforma dobozokba szeretnénk rendezni úgy, hogy egyik doboz se maradjon üres. Ezek a számok megmutatják, hányféle elrendezés létezik ilyen feltételek mellett. Legközelebb, amikor egy hasonló feladattal találkozol, gondolj a Stirling-számokra, mert ők adják meg a megoldást!
Copyright © iMatek 2020-2025 – Minden jog fenntartva
