Egy egyszerű példán keresztül vizsgáljuk meg, hogy mit is szeretnénk érteni egy sorozat határértékén. Legyen \(a_n=1/n\) sorozat, ahol \(n\in\mathbb{Z}^+\), azaz pozitív egész szám. A sorozat első néhány elemét ábrázolhatjuk is.
Az \(a_n=1/n\) sorozat egy másik szembeötlő tulajdonsága, hogy elemei ugyan csökkennek, de végig pozitívak maradnak, azaz nem csökken \(0\)-ra, vagy az alá. A sorozat elemeit ábrázolva azt láthatjuk, hogy az egyes értékeket jelölő pontok egyre közelebb kerülnek az \(x\)-tengelyhez. A sorozat azon tulajdonságát, hogy a \(0\) érték az alsó határa a sorozatnak úgy tudjuk általánosíteni, hogy tetszőleges pozitív \(\varepsilon\) értéket választva (általában valamilyen kicsi számot), a sorozat minden eleme egy bizonyos \(N\) indextől, mindig kisebb lesz \(\varepsilon\)-nál. Ezt úgy mondjuk, hogy a sorozat határértéke \(0\).
Az \(a_n=1/n\) sorozat a határérték speciális esetre történő megfogalmazását tette lehetővé. A határérték leírásában erősen kihasználtuk, hogy a sorozat tagjai pozitív számok, illetve a határérték \(0\).
Az ábrán látható, hogy ha \(\varepsilon_1=0,3\) értéket választjuk, akkor csak a sorozat első három elemére nem teljesül, hogy kisebb lenne ennél az értéknél, így a keresett küszöbértékre az \(N=4\) érték adódik. Ha \(\varepsilon_2=0,12\), akkor az ábráról leolvasva \(N=9\) adódik. Általánosságban \(\varepsilon\) függvényében is kifejezhetjük \(N\) értékét, felhasználva a sorozatot definiáló képletet.
\(\varepsilon_2=0,12\) értékhez a fentiek alapján már pontosan meg tudjuk határozni \(N\) értékét. \(N > 1/\varepsilon_2=1/0,12\approx 8,33\) adódik, amely igazolja, hogy a \(9.\) elemtől valóban teljesül, hogy a sorozat elemei kisebbek, mint \(\varepsilon_2\).
A sorozatok határértékének pontos definícióját az alábbiakban láthatjuk majd. Azokat a sorozatokat, amelyeknek létezik határértéke konvergens sorozatoknak nevezzük.
A korlátosság megállapításához gyakran egy kis átalakításra van szükség, azonban a legtöbb esetben kihasználjuk, hogy \(n > 0\).
\(a_n < 1\), tehát a sorozat felülről korlátos.
A monotonitás vizsgálatához két egymást követő elem egymáshoz viszonyított nagyságrendjét kell vizsgálni, azaz \(a_n\lesseqgtr a_{n+1}\).
Tehát a sorozat szigorúan monoton növekvő, amelyből az is következik, hogy a sorozat alulról korlátos. Az alsó korlátot például az első elem értéke adja, azaz \(b_1=0\).
Ezzel beláttuk, hogy az \(\{a_n\}\) sorozat korlátos és szigorúan monoton növekvő.
Az előző pontban azt írtuk, hogy a sorozatnak például \(b_1=0\) érték alsó korlátja. A definíció alapján azt is mondhattuk volna, hogy az alsó korlátja \(-1\), ugyanis ebben az esetben is teljesül, hogy a sorozat minden eleme nagyobb vagy egyenlő \(-1\)-nél.
A definíciókat áttekintve láthatjuk, hogy a sorozat infimuma \(0\), illetve szuprémuma \(1\). A sorozat elemei között nem találunk olyan tagot, amelynek az értéke egyenlő lenne a szuprémummal, de a felső korlátok közül ez a legkisebb, ugyanis az \(1-4/(n+4)\) értéke "tetszőlegesen megközelítheti" az \(1\)-et, alulról.
Mielőtt a feladatot megoldanánk nézzük meg a konvergencia és a határérték definícióját, ugyanis a bevezető részben csak az \(a_n=1/n\) sorozatra értelmezve adtuk meg. Az \(1/n\) sorozat speciális a határérték szempontjából, ugyanis minden eleme pozitív és a határértéke \(0\). Általános esetben, ha egy sorozat határértéke \(A\), akkor nem az \(a_n < \varepsilon\) egyenlőtlenséget vizsgáljuk, hanem az \(|a_n-A| < \varepsilon\)-t.
A definíció alapján a feladatban megadott sorozat határértékére a következő egyenlőtlenség írható fel:
Mivel \(n\in\mathbb(Z)^+\), azaz pozitív egész szám, így a nevező lehetséges legkisebb értéke \(7(7n-1)=7\cdot 6=42\), azaz a tört minden lehetséges \(n\) esetén pozitív, így az abszolútértékjel elhagyható.
A fenti lépések megfordíthatóak, így \(N=\left\lceil\frac{32+7\varepsilon}{49\varepsilon}\right\rceil\), azaz a kifejezés felső egész része.
Számítsuk ki \(N\) értékét, ha \(\varepsilon = 0,05\).
Gyakran nehéz bizonyítani, ha valami nem rendelkezik egy adott tulajdonsággal vagy nem létezik. Az \(a_n\) sorozat esetén először próbáljuk meg elképzelni az egyes elemek értékeit. Ha csak az \(n^2\) tényezőt nézzük, akkor láthatjuk, hogy ez nem lenne (felülről) korlátos.
Ha igazolni tudjuk, hogy a sorozat bizonyos elemei minden határon túl növekednek, azaz végtelenhez tartanak, akkor ezzel igazoltuk is a sorozat divergenciáját. Legyen \(m\) páros szám és \(K\) egy tetszőleges pozitív valós szám.
Tehát a sorozat páros indexű \(\sqrt K\)-nál nagyobb tagjai nagyobbak, mint \(K\), így a sorozat divergens.
Konvergens sorozatok összegére, különbségére, szorzatára és hányadosára vonatkozó tételt fogjuk felhasználni, amelyet általában kisebb-nagyobb algebrai átalakítás előz meg. A feladatban szereplő \(\{b_n\}\) sorozatot meghatározó tört számlálója és nevezője is \(\infty\)-hez tart, így közvetlenül nem használható a sorozatok hányadosára vonatkozó összefüggés. Ha egy sorozat megadásakor a számlálóban és a nevezőben is egy-egy polinom van, akkor célszerű a nevező legnagyobb fokszámú tagjával osztani a számlálót és a nevezőt is.
A fentiekben az egyes tagok határértékét jelöltük, A \(\dfrac{7}{n^2}\), \(\dfrac{7}{n}\) és \(\dfrac{1}{n^2}\) sorozatok \(0\)-hoz tartanak, így a \(\{b_n\}\) sorozat határértéke:
Az előző példában alkalmazott módszer nem minden esetben használható. AAzonban van egy másik jól alkalmazható módszer a határérték meghatározására, a kiemelés vagy egyéb módon történő szorzattá alakítás (pl. nevezetes azonosság használatával). Ebben a példában az \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) azonosságot alkalmazhatjuk, \(a_n=\sqrt{4n^2-7n}\) és \(b=2n\) helyettesítéssel.
A fenti formulában még mindig nem alkalmazhatjuk a korábbi feladatban használt módszert, további átalakításra van szükség. A nevezőben lévő kifejezésből kiemelünk \(n\)-t.
Ez a példa jól szemlélteti, hogy a gyökvonásra és az alapműveletekre vonatkozó összefüggések többszöri alkalmazása is célravezető tud lenni.
A határérték fogalmát a függvényekre is kiterjeszthetjük, azonban ahogyan látni fogjuk egy \(f(x)\) függvénynek nem csak a plusz végtelenben tudjuk értelmezni a határértékét. Egy másik jelentős eltérés a sorozatokhoz képest, hogy a függvények esetén a határérték is lehet \(+\infty\) vagy \(-\infty\). Kezdjük a sorozatokhoz legközelebb álló definícióval, amelynek az értelmezését az ábra segíti.
Függvény határértéke a végtelenben: Legyen \(f\) egy olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya \(D_f\) és létezik olyan \(K\in\mathbb{R}\), amely esetén \(]K;\infty[\subseteq D_f\). Ekkor az \(f\) függvény határértéke a végtelenben \(A\), ha
A szemlélet alapján az \(y\)-tengelyen keresünk egy olyan nyílt intervallumot az \(A\) érték körül, amelynek a hossza \(2\varepsilon\), és ehhez a (sárgával jelölt) sávhoz találunk egy olyan \(K\) értéket, hogy ettől "jobbra" a függvény grafikonja az \((A-\varepsilon;A+\varepsilon)\) sávon belül marad.
Az \(f(x)=2+1/x^2\) függvény értelmezési tartománya legyen \(D_f=\mathbb{R}^+\), amelyről belátjuk, hogy a végtelenben vett határértéke \(2\), azaz
A definíció szerint minden \(\varepsilon > 0\) értékhez lézetik egy olyan \(K\) szám, hogy minden \(x > K\) esetén \(|f(x)-A| < \varepsilon\). Az utolsó összefüggésből \(K\) meghatározható \(\varepsilon\) függvényében:
\(\varepsilon=0,2\) esetén \(K=\sqrt{1/0,2}=\sqrt 5\approx 2,23\) lesz az a küszöbérték, amelynél nagyobb \(x\) értékekre a függvény grafikonja a \((4,8;5,2)\) sávon belül van.
Egy függvény \(-\infty\)-ben vett határértéke hasonlóan értelmezhető, amelynek pontos definíciója az alábbiakban megtalálható.
A függvények esetében a határértéket vizsgálhatjuk véges helyen vagy \(\pm\infty\)-ben, ahol a határérték lehet véges valós szám, illetve \(\pm\infty\) is. Láthatjuk, hogy a sorozatok határértékének meghatározásával szemben mennyivel több lehetőséget tartogat a függvények határértékének vizsgálata.
Az \(x_0\in\mathbb{R}\) környezetei az \(]x_0-\varepsilon;\,x_0+\varepsilon[\) nyílt intervallumok, ahol \(\varepsilon>0\) tetszőleges.
Függvény véges helyen vett határértéke: Legyen \(f\) egy olyan függvény, amely értelmezve van \(x_0\in\mathbb{R}\) valamely környezetében (\(x_0\)-ban nem feltétlenül kell értelmezve lennie \(f\)-nek). Ekkor az \(f\) függvény \(x_0\) véges helyen vett határértéke az \(A\in\mathbb{R}\), ha
Ez már egy jóval összetettebb definíció, ahol fontos megjegyezni, hogy minden esetben \(\varepsilon\)-hoz keresünk \(\delta\) értéket, azaz az \(y\)-tengelyen felvett környezethez egy megfelelő intervallumot az \(x\)-tengelyen.
Ha meghatározunk a határérték körül egy \(\varepsilon\) sugarú környezetet, akkor találnunk kell \(x_0\) körül egy olyan intervallumot, hogy az ebben található \(x\) értékekhez tartozó függvényértékek a sárga sávon belül legyenek. Nem elvárt, hogy a függvény értelmezve legyen \(x_0\)-ban.
Az ábrán az \(f(x)=\dfrac{x^3-x^2}{x-1}\) függvény határértékét vizsgálhatjuk az \(x_0=1\) pontban, ahol a függvény nincs értelmezve. Látható, hogy a \(\lim\limits_{x\to 1}=1\) határérték \(\varepsilon\) sugarú környezetét mutató sárga sávhoz találtunk \(x_0\)-nak egy olyan \(\delta\) sugarú (bordóval jelölt) környezetet, hogy az ebbe eső \(x\) értékekhez tartozó \(f(x)\) értékek a sárga sávon belül maradnak.
Ha \(\varepsilon=0,2\), akkor \((1+\delta_1)^2=1+\varepsilon\) és \((1-\delta_2)^2=1-\varepsilon\), így
Tehát \(\varepsilon=0,2\)-höz a megfelelő érték a \(\delta=\min(\delta_1,\delta_2)\approx 0,095\). Sok esetben tapasztalhatjuk, hogy a határérték körül szimmetrikusan elhelyezkedő környezet esetén az \(x_0\) körül nem szimmetrikus környezetet kapunk a függvényértékekből visszaszámolva. Ilyen esetekben mindig úgy határozzuk meg \(\delta\)-t, hogy a számított tartományon belül legyen \(x_0\)-nak egy \(\delta\) sugarú környezete.
A fentiekben már érintettük, hogy az \(f(x)\)-nek nem kell értelmezve lenni az \(x_0\) pontban ahhoz, hogy ezen a helyen határértéke lehessen. Most ennél tovább megyünk, és kihasználjuk, hogy a függvények véges helyen vett határértékének definíciójában \(0 < |x-x_0| < \delta\) szerepel. A \(0 < |x-x_0|\) azt jelenti, hogy \(\delta\) keresésekor nem kell figyelembe venni az \(f(x_0)\) értéket, még akkor sem ha létezik.
A fenti függvény határértékének meghatározásához nem kell figyelembe vennünk az \(f(3)=3\) értéket, elegendődő a fennmaradó rész vizsgálata.
Az egyszerűsítést ebben az esetben a szokásostól eltérően értjük, ugyanis az algebrai egyszerűsítés szabályain felül is egyszerűbb alakot hozunk majd létre. Annak érdekében, hogy az egyszerűsítés ne okozzon félreértést végig jelölni fogjuk a határértéket.
Az utolsó sor előtt \(\overset{\color{green}{!}}{=}\)-gel jelöltük, hogy ez nem a szokásos egyszerűsítésen alapuló algebrai egyenlőség, ugyanis \(f(x)\) és \(\sqrt x\) értelmezési tartománya és értékkészlete is eltér. Az egyszerűsítés ennek ellenére igaz ugyanis a két függvény határértéke azonos \(x=3\) pontban.
A függvény folytonosságának definíciója nélkül nehéz megfogalmazni a határérték és a helyettesítési érték közti összefüggést, de jelen esetben kiindulhatunk abból, hogy
Legyen \(f_1(x)=\sqrt x\). A \(\delta\) megfelelő értékét az \(f_1(3-\delta_1)=f_1(3)-\varepsilon\) és az \(f_1(3+\delta_2)=f_1(3)+\varepsilon\) egyenletek \(\delta\)-ra történő átrendezésével kapjuk és \(\delta=\min(\delta_1;\delta_2)\).
Az \(f(x)=1/(2x-4)^2\) függvénynek sem a teljes valós számok alkotják az értelmezési tartományát, ugyanis \(x=2\) helyen nincs értelmezve. Vizsgáljuk meg az értékkészletét is, amelyről könnyen látható, hogy csak pozitív számok alkothatják. Ha \(x\) értéke közel esik \(2\)-höz, akár kisebb, akár nagyobb nála, akkor a függvény értéke tetszőlegesen nagy lehet, azaz a végtelenhez tart.
Véges helyen vizsgált határérték keresésekor gyakran előfordul, hogy meg kell vizsgálni az \(x_0\)-nál kisebb és ennél nagyobb \(x\) értékek esetén is a függvény viselkedését. Ebben az esetben egyszerűbb dolgunk van, ugyanis mindkét esetben \(+\infty\) adódik határértéknek.
A határérték igazolásához minden \(K > 0\) értékhez találnunk kell egy olyan \(0 < \delta\)-t, amelyre teljesül, hogy minden \(0 < |x-x_0| < \delta\) esetén \(K < f(x)\).
A \(\delta\) megfelelő értékét az \(f(2-\delta_1)=K\) és az \(f(2+\delta_2)=K\) egyenletek \(\delta\)-ra történő megoldásával kapjuk és \(\delta=\min(\delta_1;\delta_2)\).
A \(\delta_{1,2}\) kiszámításához az \(\dfrac{1}{\left(2(2\pm\delta_{1,2})-4\right)^2}=K\) egyenletet kell átrendezni, ha \(K > 0\). Az eredményből látható, hogy \(|\delta_1|=|\delta_2|\), így \(\delta=\dfrac{1}{2\sqrt K}\). A számítási lépéseket visszafelé is elvégezhetjük, így igazoltuk a határérték létezését pozitív értékekre. Ha \(K\leq 0\), akkor a függvény teljes értékkészletére teljesül, hogy nagyobb, mint \(K\).
Az átviteli-elv segít a megoldásban, azonban mielőtt a konkrét példával foglalkozunk nézzük meg az átviteli elv két fontos részét. Egyrészt az állítás oda-vissza igaz, így a függvények határértéke (speciális) sorozatok segítségéveel is meghatározóvá válik, amely sok esetben könnyebbséget jelent. A másik fontos eleme a tételnek, hogy nem elegendő egyetlen vagy néhány sorozatot találni a megfelelő feltételekkel. Minden \(x_0\)-hoz tartó \(\{x-n\}\) sorozatra teljesülnie kell, hogy \(f(x_n)\to A\), amelyek megfelelnek a tétel feltételeinek.
Legyen \(x_n\) olyan sorozat, hogy \(x_n\in D_f\), \(x_n\ne 1\) és \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1\). A tömören felírt feltételek szerint olyan sorozatokat definiáltunk, amelyeknek létezik határértéke és az egyenlő \(1\)-gyel, de egyetlen eleme sem \(1\). Az utolsó feltétel a függvény határértékének számításakor különösen fontos lesz!
Az átviteli elvnek megfelelően felírjuk az \(f(x_n)\) határértékét. Figyeljünk arra, hogy \(f(x_n)\) lényegében egy sorozat, amelynek a határértékét nem \(x_0\to 1\) helyen, hanem \(n\to\infty\)-ben kell meghatároznunk.
A fenti számítás során egyszerűsítettünk \((x_n-1)\)-gyel, amit azért tehettünk meg, mert \(x_n\ne 1\). A számolás során nem okozott problémát, hogy nem ismertük \(x_n\) sorozat elemeit, csak a sorozat tulajdonságaira volt szükségünk.
Legyen \(x_n=1-\dfrac{1}{n+1}\), amely teljesíti a
fentiekben megfogalmazott elvárásokat, ugyanis
egyetlen
eleme sem egyenlő \(1\)-gyel és határértéke \(1\).
Az
\(f(x)\) függvényt és az \(f(x_n)\) sorozatot
ábrázoltuk, amelyből jól látható, hogy a függvény az
\((1;2)\) pontban nincs értelmezve, a sárgával
ábrázolt
sorozatelemek pedig illeszkednek a függvény
grafikonjára.
A sorozatoknál már láthattuk, hogy bizonyos megkötésekkel a sorozatok közti műveletekre jól működő határértékképzési összefüggéseket tudunk felírni. Nagyon hasonló összefüggések teljesülnek függvények esetében is, amelyeket a sárga mezőben foglaltunk össze.
Ha a példában szereplő sorozat elemire közvetlenül alkalmaznánk a megadott összefőggéeket, akkor a következővel szembesülnénk:
A gondot a \(\infty-\infty\) kifejezés okozza, ugyanis két végtelenhez tartó függvény különbségéről általában nem tudunk semmit mondani.
A sorozatoknál már látott átalakítási módszerrel a függvények esetében is élhetünk, emeljünk ki \(x^2\)-et!
A mellékelt táblázatok alapján a fentiekben már meg tudtuk határozni a határértéket.
Ez a példa már nem csak az átviteli és a rendőr-elv technikai szemléltetésére jó, hanem azt is bemutatja, hogy miért is van szükség a rendőr-elvre. A megoldás során tapasztalni fogjuk, hogy egy nehezen megfogható függvény határértékét vissza tudjuk vezetni két egyszerű függvény határértékének meghatározására.
A rendőr-elv alkalmazása általában azzal indul, hogy olyan függvényeket keresünk, amelyek "közrefogják" azt a függvényt, amelynek a határértékét kívánjuk meghatározni. A példa jelöléseit használva olyan \(g(x)\) és \(h(x)\) függvényeket keresünk, amelyekre teljesül, hogy
Induljunk ki a legkézenfekvőbb becslésből \(-1\leq \sin\dfrac{1}{x}\leq 1\).
\(g(x)\) és \(h(x)\) meghatározása után kiszámítjuk azok határértékét \(x\to 0\) helyen.
A fenti számítás után már csak a rendőr-elvet kell alkalmaznunk, amelyből következik, hogy \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0\). Az alábbi ábrán \(f(x)\) grafikonját bordóval, míg a \(g(x)\) és \(h(x)\) grafikonját sárgával rajzoltuk meg.
Függvény véges helyen vett határértéke: Legyen \(f\) egy olyan függvény, amely értelmezve van \(x_0\in\mathbb{R}\) valamely környezetében (\(x_0\)-ban nem feltétlenül kell értelmezve lennie \(f\)-nek). Ekkor az \(f\) függvény \(x_0\) véges helyen vett határértéke az \(A\in\mathbb{R}\), ha
A végtelennel speciális módon "számolhtunk". A "műveletek" szabályai \(\lim f(x)\) és \(\lim g(x)\) között. A táblazatok első sorában \(\lim f(x)\), az első oszlopában pedig \(\lim g(x)\) értékei szerepelnek.
A határértékek meghatározása során láthattuk, hogy létezésének nem feltétele, hogy a függvény a vizsgált pontban értelmezve legyen, azonban ha egy függvény értelmezve van \(x_0\) pontban az még önmagában nem jelenti azt, hogy ebben a pontban létezik határértéke.
A korábbi ábrákon többször láthattunk olyan függvényeket, amelyeknek grafikonjában "szakadás" volt, azaz nem tudtuk folytonos vonallal megrajzolni. A függvények kiemelt tulajdonsága a folytonosság, amelyet a következőképpen definiálunk.
Az \(f\) függvény folytonos az \(x_0\) pontban, ha \(f\) értelmezve van \(x_0\) egy környezetében, és
Az ábrán az \(f(x)=\sqrt x\) grafikonja látható, amelynek a folytonosságát vizsgáljuk az \(x_0=3\) pontban. A definíció értelmezése alapján minden \(\varepsilon > 0\) értékhez keresünk olyan \(\delta > 0\) értéket, hogy \(|x-x_0| < \delta\) intervallumba eső értékekre \(|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\).
A definíció kísértetiesen hasonlít a határérték definíciójához, ezért vizsgáljuk meg, hogy mi is a lényegi különbség. Először is a folytonosság esetén elvárjuk, hogy az \(f(x)\) függvény értelmezve legyen \(x_0\) egy környezetében és \(\boldsymbol{x_0}\)-ban is. Másrészt \(x_0\)-nak olyan környezetét keressük, amelynek \(x_0\) is része, így \(|x-x_0| < \delta\) feltételnek kell teljesülni (nem csak az az elvárás, hogy \(\boldsymbol{0 < }|x-x_0| < \delta\) legyen).
Függvény véges helyen vett határértéke: Legyen \(f\) egy olyan függvény, amely értelmezve van \(x_0\in\mathbb{R}\) valamely környezetében (\(x_0\)-ban nem feltétlenül kell értelmezve lennie \(f\)-nek). Ekkor az \(f\) függvény \(x_0\) véges helyen vett határértéke az \(A\in\mathbb{R}\), ha
A folytonosság és a határérték definíciója közti hasonlóságot a két fogalom összekapcsolására is felhasználhatjuk. A folytonosságot a következőképpen is definiálhatjuk:
Az \(f\) függvény folytonos az \(x_0\) pontban, ha \(f\) értelmezve van \(x_0\) egy környezetében, és
Tehát ha \(f(x)\) függvény értelmezve van \(x_0\)-ban és \(x_0\)-ban vett határértéke megegyezik a függvény helyettesítési értékével, akkor ebben a pontban folytonos a függvény.
A példák során látni fogjuk, hogy a folytonossság kiterjezthető egy intervallumra, értelmezhető jobb- és baloldali folytonosság, illetve a függvények szakadásai különböző típusba sorolhatóak.
A függvény nem folytonos az \(x=0\) pontban annak ellenére, hogy \(x_0\in D_f\). Annak bizonyítására, hogy a függvény nem folytonos először azt látjuk be, hogy nem létezik jobb oldali határérték, amelyből következik, hogy jobbról nem folytonos. Ez pedig már azt is jelenti, hogy a függvény nem lehet folytonos \(x_0=0\) pontban.
A jobb oldali határérték vizsgálata során felhasználjuk az átviteli-elvet. Keresünk két olyan \(x_n\) és \(y_n\) sorozatot, amelynek a végtelenben vett jobb oldali határértéke ugyan \(0\), de \(f(x_n)\) és \(f(y_n)\) jobb oldali határétékei eltérőek. A jobb oldali határérték létezésének szükséges feltétele, hogy \(\lim\limits_{x_n\to 0}f(x_n)=\lim\limits_{y_n\to 0}f(y_n)\). Így ezzel cáfolni tudjuk a határérték létezését. A két sorozat legyen:
Az átviteli-elv szerint, a fenti két sorozat függvényértékeinek jobb oldali határértékét kell meghatároznunk.
A fenti két jobb oldali határérték nem egyenlő, így a függvénynek nem létezik jobb oldali határértéke, azaz határértéke sem. A határérték létezése szükséges feltétele a folytonosságnak, így ezzel beláttuk, hogy az \(f(x)\) függvény nem folytonos az \(x_0=0\) pontban. Az alábbi ábra jól illusztrálja, hogy a sárga \(x_n\) és a magenta \(y_n\) sorozatok hogyan segítenek az átviteli-elv alkalmazásában.
A példában szereplő \(f_1(x)=x^2\sin(1/x)\) függvényt már vizsgáltuk a határérték számításakor (5. példa), amelyről beláttuk, hogy \(x_0=0\) pontban létezik határértéke:
Az \(f_1(x)\) függvénynek megszűntethető szakadása van \(x_0=0\) pontban, így a példában szereplő \(f(x)\) függvény már folytonos.
Az \(f(x)\) függvény folytonosságának bizonyításához elegendő felhasználni a határérték és folytonosság közti összefüggést, azaz ha \(f(x)\) értelmezve van \(x_0=0\) pontban és \(\lim\limits_{x_0\to 0}f(x)=f(x_0)=0\) teljesül, akkor \(f(x)\) folytonos \(x_0=0\) pontban.
Eddig általában olyan függvényeket vizsgáltunk, amelyek grafikonjáról "leolvasható" volt a folytonosság, azaz azt gondolhattuk, hogy ha meg tudjuk rajzolni a grafikont egy "folytonos vonallal", akkor a függvény folytonos.
A módosított \(d(x)\) Dirichlet-féle függvény ezzel szemben az irracionális számoknál \(0\), a racionális értékeknél pedig \(d(x)=x\) értéket vesz fel, azaz két egyenes mentén "sűrűn elhelyezkedő" pontok halmaza.
Az \(x_0=0\) pontbeli folytonosság definíciója alapján tetszőleges \(\varepsilon > 0\)-hoz keresnünk kell egy megfelelő \(\delta\)-t, hogy minden \(x\in D_d\), amelyekre \(|x-x_0| < \delta\) teljesül, egyben \(|d(x)-d(x_0)| < \varepsilon\) is teljesüljön.
A \(\delta=\varepsilon\) minden esetben megfelelő választás, amelyet az \(x\in\mathbb{Q}\) esetén a \(d(x)=x\) segítségével ellenőrizhetünk. Az irracionális számoknál a függvényérték mindig \(0\) így ezen függvényértékek tetszőleges \(\varepsilon\) esetén beleesnek \(x_0\) \(\varepsilon\) sugarú környezetébe.
A két "egyenes" különálló, de sűrűn elhelyezkedő pontokból áll.
