Kombinatorika

  • Bell-számok, kombináció, kombinatorika, permutáció, Stirling-számok, variáció
Picture of matematikai alkalmazások

matematikai alkalmazások

Matematikai érdekességek, amelyek jól jöhetnek az érettségin vagy a felvételin is.

Alkalmazások
combinatorics1

Oszd meg, ha tetszik!

Kombinatorika a gyakorlatban: 12 alapvető leszámolási eset a doboz-golyó modellel

A kombinatorika egyik legismertebb problémaköre a dobozokba történő golyóelhelyezés, amely számtalan gyakorlati és elméleti kérdés alapja. Ezen az oldalon részletesen bemutatjuk a 12 leszámolási alapesetet, amelyek a doboz-golyó modellek különböző szabályait követik. Az oldalon található kalkulátor segítségével könnyedén kiszámolhatod az adott esetek eredményét, különböző doboz (N) és golyók (K) darabszámra.
A doboz-golyó modell?
A doboz-golyó problémák lényege, hogy adott számú golyót helyezünk el adott számú dobozba, bizonyos szabályok betartásával. Négy fő tényező határozza meg az alapeseteket:
  1. A dobozok tulajdonságai: lehetnek egyformák (megkülönböztethetetlenek) vagy különbözőek (pl. számozottak).
  2. A golyók tulajdonságai: szintén lehetnek egyformák (megkülönböztethetetlenek) vagy különbözőek (pl. számozottak).
  3. Elhelyezési szabályok:
    1. Legalább egy golyó minden dobozba: Nem hagyhatunk üres dobozt.
    2. Legfeljebb egy golyó minden dobozba: Egy dobozban maximum egy golyó lehet.
    3. Nincs megkötés: Egy dobozba akárhány golyó kerülhet, persze maradhat üres doboz is.
  4. Az N és K viszonya: A dobozok és golyók számának összevetése különböző eseteket eredményezhet (pl. \(N < K\), \(N = K\), \(N > K\)).
A 12 alapeset
A fenti tényezők kombinációjából 12 különböző alapeset állítható össze, amelyeket egy áttekintő táblázatba rendeztünk. Minden egyes esetet a doboz-golyó példákon keresztül mutatunk be, és a megoldásukhoz különféle kombinatorikai eszközöket használunk, például:
  • Permutációk, variációk és kombinációk,
  • Stirling-számok, Bell-számok
  • Egész számok partícionálása
Interaktív kalkulátor: Azonnali megoldás minden esetre
Az oldalon található kalkulátorral megadhatod a dobozok számát (N) és a golyók számát (K), amely alapján az összes esetre kiszámításra kerülnek a megoldások. A kalkulátor a megadott \(N, K\) értékek és a szabályok alapján automatikusan kiszámolja az eredményt, figyelembe véve:
  • A megkülönböztethetőség szabályait (egyforma vagy különböző dobozok és golyók),
  • Az elhelyezési szabályok típusát (pl. legalább egy golyó minden dobozban).
  • N és K egymáshoz viszonyított nagyságrendjét.

Leszámolási példák adatai



Nincs megkötés arra vonatkozóan, hogy a golyókat hogyan helyezzük el a dobozokban. Minden dobozba legfeljebb egy golyó kerülhet. Minden dobozba legalább egy golyó kerül (azaz nincs üres doboz)
Különböző golyók és különböző dobozok
Hányféle módon tudunk \(N\) különböző dobozba \(K\) darab különböző golyót elhelyezni?
Hányféle módon tudunk \(N\) különböző dobozba \(K\) darab különböző golyót elhelyezni úgy, hogy minden dobozba legfeljebb egy golyó legyen?
Hányféleképpen tudunk \(N\) különböző dobozba \(K\) darab különböző golyót elhelyezni úgy, hogy minden dobozba legalább egy golyó legyen?
Egyforma golyók és különböző dobozok
Hányféle módon tudunk \(N\) különböző dobozba \(K\) darab egyforma golyót elhelyezni?
Hányféle módon tudunk \(N\) különböző dobozba \(K\) darab egyforma golyót elhelyezni úgy, hogy minden dobozba legfeljebb egy golyó legyen?
Hányféleképpen tudunk \(N\) különböző dobozba \(K\) darab egyforma golyót elhelyezni úgy, hogy minden dobozba legalább egy golyó legyen?
Különböző golyók és egyforma dobozok
Hányféle módon tudunk \(N\) egyforma dobozba \(K\) darab különböző golyót elhelyezni?
Hányféle módon tudunk \(N\) egyforma dobozba \(K\) darab különböző golyót elhelyezni úgy, hogy minden dobozba legfeljebb egy golyó legyen?
Hányféleképpen tudunk \(N\) egyforma dobozba \(K\) darab különböző golyót elhelyezni úgy, hogy minden dobozba legalább egy golyó legyen?
Egyforma golyók és egyforma dobozok
Hányféle módon tudunk \(N\) egyforma dobozba \(K\) darab egyforma golyót elhelyezni?
Hányféle módon tudunk \(N\) egyforma dobozba \(K\) darab egyforma golyót elhelyezni úgy, hogy minden dobozba legfeljebb egy golyó legyen?
Hányféleképpen tudunk \(N\) egyforma dobozba \(K\) darab egyforma golyót elhelyezni úgy, hogy minden dobozba legalább egy golyó legyen?

Érdekességek

További alkalmazások

Most kedvező áron az előkészítő csomag

2023 iFeladatok I.

Interaktív feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
4.590 Ft 2022/23 tanévre
  • 20 iFeladat automatikus javítással
  • 19 témakör
  • 121 megoldási lépés
  • Megoldássegítő felépítés
  • 2,15 átlagos nehézség (1-3 skálán)
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

2023 Emelt szintű
matematika előkészítő

Kidolgozott feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
59.900 Ft 2022/23 tanévre
  • 25 kidolgozott témakör
  • Több mint 200 kidolgozott példa
  • 13 interaktív feladatsor
  • 21 elméleti összefoglaló
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelményekkel kiegészítve
  • 25 szóbeli tétel - teljes tételsor
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

2023 Középszintű matematika kurzusok

Tananyag középszintű matematika felkészüléshez
1.750 Ft 2022/23 tanévre, kurzusonként
  • Témakörönkénti előfizetés
  • Megértést segítő magyarázat
  • Definíciók, tételek
  • Kidolgozott típuspéldák
  • Online feladatok, azonnali javítással
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelmények alapján
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

Kapcsolat

Dokumentumok

Pénzügyi Partnerünk

CIB Bank

Elfogadott kártyák

Bankkártyák

    Írj nekünk!



    Facebook Map-marker-alt Tiktok

    Ügyfélszolgálat

    • Telefon: +36 30 427-6190
    • hétfő-péntek: 8:00-16:00
      Copyright © iMatek 2020-2024 – Minden jog fenntartva