iMatek

9. osztályos középszintű tananyag iKurzus – bemutató

iKurzusok
iFeladatok

Függvények - hozzárendelés

Legyen az \(A\) és \(B\) halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az \(A\) halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük a \(B\) halmaz egy-egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Fontos, hogy \(A\) egy adott eleméhez nem rendelhetjük hozzá \(B\) ugyanazon elemét, ha függvényről beszélünk. Több \(A\) halmazbeli elemhez hozzárendelhetjük \(B\) egy adott elemét, hogy függvény legyen a hozzárendelés. Az egyértelmű hozzárendeléseket nevezzük függvényeknek.
Az \(f:A\to B\) függvény esetén az \(A\) halmazt értelmezési tartománynak \((\boldsymbol{D_f})\) , a \(B\) halmazt pedig képhalmaznak nevezzük. \(B\)-nek azt a részhalmazát, amelynek elemei hozzá lettek rendelve valamely értelmezési tartománybeli elemhez, értékkészletnek nevezzük \((\boldsymbol{R_f})\)
Két függvényt akkor és csak akkor tekintünk azonosnak, ha értelmezési tartományuk és a hozzárendelési szabályuk is megegyezik.

Derékszögű vagy Descartes-féle koordináta-rendszer

Az \(x\) tengelyen lévő értéket elsõ koordinátának vagy abszcisszának, az \(y\) tengelyen lévőt pedig második koordinátának vagy ordinátának nevezzük. Ez a két szám ebben a sorrendben egy rendezett számpárt alkot, ezekkel a pont megjelölésére szolgáló nagybetű mellé írva adjuk meg a pont helyét a koordináta-rendszerünkben.
Egy tetszőleges pontot \(P(x; y)\)-nal jelölhetünk. Ha megadunk egy összefüggést \(x\) és \(y\) között, ezzel egy ponthalmazt határozunk meg a koordinátasíkon. A ponthalmazhoz pontosan azok a pontok tartoznak, amelyeknek elsõ koordinátáját \(x\), a másodikat pedig \(y\) helyébe írva az összefüggés igaz lesz. Ezt az összefüggést az alakzat egyenletének hívjuk.

Egyenes- és fordított arányosság

Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó \((\ne 0)\), akkor egyenes arányosságról beszélünk.
\[ \begin{aligned} \frac{y}{x}=\frac{3}{2}=\frac{6}{4}=1,5 \end{aligned}\notag \]
Ha két változó mennyiség összetartozó értékpárjainak szorzata állandó, akkor a mennyiségeket fordítottan arányosnak nevezzük.
\[ \begin{aligned} x\cdot y=2\cdot 8=4\cdot 4=8\cdot 2=16\cdot 1=16 \end{aligned}\notag \]

Függvények és ponthalmazok

Függvények ábrázolása során is egy ponthalmazt kapunk. A függvény által meghatározott ponthalmazt azon pontok összessége alkotja, amelynek az első koordinátája az értelmezési tartomány egyik eleme, a második koordinátája a hozzárendelt függvényérték. Egy \(f(x):A\to B\) függvény esetén ez azt jelenti, hogy ábrázolnunk kell az összes \(P(x; f(x))\) koordinátájú pontot, ahol \(x \in D_f\). A függvénygörbének, mint ponthalmaznak az egyenlete: \(y = f(x)\).
Minden függvényre teljesül, hogy a hozzárendelés egyértelmű, azaz minden \(x\)-hez legfeljebb egy \(f(x)\) függvényérték tartozik, attól függõen, hogy \(x\) eleme az értelmezési tartománynak, vagy nem. Ez azt jelenti, hogy nem lehet a görbének két olyan pontja, amelyeknek az elsõ koordinátája megegyezik. Másként fogalmazva, bármely függõleges egyenes maximum egyszer metszheti a görbét. Ha egy ponthalmazra ez az egyszerû feltétel teljesül, akkor az lehet egy függvény grafikonja.

Ponthalmazok

Ponthalmaz egyenlete Megjegyzés Ábra
\(x=1\)
A ponthalmaz nem függvény.
Az \(x=c\) egyenlettel megadott ponthalmazok nem függvények , ahol \(c\in\mathbb{R}\).
\(y=1\)
A ponthalmaz függvény.
Az \(y=c\) egyenlettel megadott ponthalmazok függvények, ahol \(c\in\mathbb{R}\).
\(y=x\)
A ponthalmaz függvény.
Az \(y=x\) egyenlettel megadott ponthalmaz, azon pontok halmaza, amelyekre teljesül, hogy az első és a második koordinátájuk megegyezik.
\(x > 0\) vagy \(y > 0\)
A ponthalmaz nem függvény.
Az ábrán az egyes síknegyedeket is jelöljük a koordináta-rendszerben.
\(y = 2x+1\)
A ponthalmaz függvény.
Az \(y=ax+b\) egyenlettel meghatározott ponthalmaz egy egyenes, ahol \(a,\,b\in\mathbb{R}\). Ha \(b=0\), akkor az egyenes áthalad a koordináta-rendszer origóján, és pontjainak koordinátái egyenes arányosságban állnak.
\(xy = 4\)
A ponthalmaz függvény.
Az \(xy=c\) egyenlettel meghatározott ponthalmaz egy hiperbola, ahol \(c\in\mathbb{R}\). Az egyenlet által meghatározott ponthalmaznak nem eleme az \(O(0;0)\) pont, és pontjainak koordinátái fordított arányosságban állnak.
\(x^2+y^2 = 16\)
A ponthalmaz nem függvény.
Az \(x^2+y^2=c\) egyenlettel meghatározott ponthalmaz egy kör, ahol \(c\in\mathbb{R}\) és a kör sugara \(\sqrt c\). A kör középpontja az \(O(0;0)\) pont.
1. feladat
2. feladat
3. feladat

Lineáris függvény

Konstans függvény

Az \(f(x) = c\) (\(c\in\mathbb{R}\) egy tetszőleges rögzített szám) típusú függvényeket konstans függvényeknek nevezzük, amelyek képe egy vízszintes egyenes, ami az y tengelyt a \((0; c)\) pontban metszi.
Legyen \(f:A\to B\) függvény és \(H\subseteq A\) nem üreshalmaz. A \(g:H\to B\) függvényt az \(\boldsymbol{f}\) \(\boldsymbol H\) halmazra való leszűkítésének nevezzük, ha \(g(x)=f(x)\) teljesül minden \(x\in H\)-ra.
Legyen \(f:A\to B\) függvény és \(A\subseteq K\) nem üreshalmaz. A \(g:K\to B\) függvényt az \(\boldsymbol{f}\) \(\boldsymbol K\) halmazra való kiterjesztésének nevezzük, ha \(g(x)=f(x)\) teljesül minden \(x\in A\)-ra.
Megvizsgáljuk az \(f:\mathbb{R}\to\{2\},\;f(x)=2\) konstans függvény leszűkítéseit a következő halmazokra.
\[ \begin{aligned} g(x): H_1&=[-1;\infty[\to\{2\}\\ h(x): H_2&=[-3;3]\to\{2\}\\ i(x): H_3&=\mathbb{N}\to\{2\}\\ \end{aligned}\notag \]
A konstans függvény leszűkítéseinek értelmezési tartományának megfelelően jelentősen változik a függvény grafikonja, azonban az értékkészlete változatlanul \(R=\{2\}\).

Egyenes arányosság

Az \(f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}\) \(f(x) = ax\) (\(a\in\mathbb{R})\) függvények az egyenes arányosságnak megfelelő függvények, ahol \(a\) az arányossági tényező. A függvények képe egy-egy origóból induló félegyenes.
Az előzőekben definiált arányossági tényező a függvény képén azt mutatja meg, hogy ha a grafikon egy tetszőleges pontjából egy egységet lépünk “jobbra”, akkor hány egységet kell “felfelé” vagy “lefelé” lépni, hogy ismét a grafikon egy pontjába jussunk. A függvények esetén arányossági tényező helyett, a fentiekben szemléletesen meghatározott értéket a függvény meredekségének nevezzük.
Megvizsgáljuk az \(f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R},\;f(x)=a\) függvényt különböző \(a\in\mathbb{R}\) értékekre.
\[ \begin{aligned} f(x)&=2x\\ g(x)&=\frac{1}{2}x\\ h(x)&=x \end{aligned}\notag \]

Elsőfokú függvények

Az elsőfokú függvények általános alakja
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{f(x)=ax+b,\qquad\text{ahol }a,\,b\in\mathbb{R},\, a\ne 0} \end{aligned}\notag \]
Ha \(f(x)=ax+b\) elsőfokú függvény esetén \(\boldsymbol{a=0}\), akkor a konstans függvényt kapjuk \(f(x)=b\).
Az \(f(x)=ax+b\) alakú elsőfokú függvény \(b=0\) esetén a \(\mathbb{R}^+\) halmazra történő leszűkítése az egyenes arányosságot eredményezi.
Egy tetszőleges függvény esetén függvénygörbe tengelyekkel való metszéspontjait tengelymetszeteknek nevezzük. Az elsőfokú függvény esetében az \(y\) tengelyen a \(P(0; b)\) pont van.
Egy tetszőleges függvény \(x\) tengelyen lévő metszéspontját zérushelynek nevezzük. A zérushely azt az \(x\) értéket jelenti, ahol a függvényérték \(0\), azaz \(f(x)=0\).
Az \(f\) függvényt az értelmezési tartományának egy \(I\) intervallumán \(I\in D_f\) monoton növekvőnek (ill. csökkenőnek) nevezzük, ha \(I\) minden \(x_1 < x_2\) elemei esetén teljesül, hogy \(f(x_1)\leq f(x_2)\) \(\big(\text{ill.}\,f(x_1)\geq f(x_2)\big)\). Az \(f\) függvényt az értelmezési tartományának egy \(I\) intervallumán \(I\in D_f\) szigorúan monoton növekvőnek (ill. csökkenőnek) nevezzük, ha \(I\) minden \(x_1 < x_2\) elemei esetén teljesül, hogy \(f(x_1) < f(x_2)\) \(\big(\text{ill.}\,f(x_1) > f(x_2)\big)\).
Az \(f(x)=ax+b\) lineáris (elsőfokú) függvények esetén az \(y\) tengellyel vett tengelymetszete és a meredekség könnyen leolvasható a hozzárendelés képletéből. A meredekség értéke \(a\), az \(y\) tengellyel való tengelymetszete \(b\). A zérushely meghatározásához az \(f=ax+b=0\) egyenletet kell megoldani, amelyből a zérushely \(x_0=-\dfrac{b}{a}\).
Az \(a\) meredekség szemléletesen azt jelenti, hogy ha egyet lépünk jobbra, akkor \(a\) előjelétől függően \(a\)-t lépünk felfelé (\(+\)) vagy lefelé (\(-\)). A fenti ábráról leolvasható, hogy \(a=-\dfrac{1}{2}\), így \((-4;3)\) pontból kiindulva ha egyet lépünk jobbra, akkor \(0,5\)-t lépünk lefelé.
Ha ismerjük a függvény két pontját, amelynek minden koordinátája pozitív, mint például a fenti ábrán \(P(0;1)\) és \(Z(2;0)\) pontokat, akkor a meredekség könnyen kiszámítható. Vezessük be a \(P(x_P;y_P)\) és \(Z(x_Z;y_Z)\) jelöléseket.
\[ \begin{aligned} a&=\frac{y_Z-y_P}{x_Z-x_P}\\ a&=\frac{0-1}{2-0}=-\frac{1}{2} \end{aligned}\notag \]
A fenti eredményt már fel tudjuk használni, ha egy ismert koordinátájú adott pontból szeretnénk egy másik pont koordinátáját meghatározni, amely értéke nem olvasható le pontosan a grafikonról. Például a \(Z(2;0)\) pontból \(3\)-at lépünk jobbra, amely azt jelenti, hogy a \(Z\) második koordinátájához képest \(3\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}=1,5\)-t lépünk lefelé.
1. feladat
2. feladat
3. feladat

Abszolútérték-függvény

Abszolút érték
Egy szám abszolút értéke a nullától való távolsága a számegyenesen, azaz \(0\)-nak és a pozitív számoknak az abszolút értéke önmaga, negatív számoknak esetén pedig az ellentettje (\(-1\)-szerese).
\[\mid x\mid= \left\{ \begin{aligned} x,\quad &\text{ha }x\geq 0 \\ -x,\quad &\text{ha }x < 0 \\ \end{aligned}\notag \right. \]
Tetszőleges lineáris függvény abszolút értékét felírhatjuk az előző definíció alapján.
\[\mid ax+b\mid= \left\{ \begin{aligned} ax+b,\quad &\text{ha }ax+b\geq 0 \\ -(ax+b),\quad &\text{ha }ax+b < 0 \\ \end{aligned}\notag \right. \]
Alakítsuk át a függvény megadását leíró hozzárendelést.
\[\mid ax+b\mid= \left\{ \begin{aligned} ax+b,\quad &\text{ha }x\geq -\frac{b}{a} \\ -ax-b,\quad &\text{ha }x < -\frac{b}{a} \\ \end{aligned}\notag \right. \]
Az \(f(x)=ax+b\) lineáris függvény abszolút értékének megadásából látható, hogy a zérushelynél nagyobb értékek esetén nincs változás, a kisebb értékeknél pedig a függvényértékek ellentettjét kell venni.
\[\mid f(x)\mid= \left\{ \begin{aligned} f(x),\quad &\text{ha }x\geq -\frac{b}{a} \\ -f(x),\quad &\text{ha }x < -\frac{b}{a} \\ \end{aligned}\notag \right. \]
Az ábrán az \(f(x)=\left |\dfrac{5}{3}x-\dfrac{10}{3}\right |\) lineáris függvény grafikonja látható.
Egy \(f(x)=ax+b\) alakú lineáris függvény abszolút értékét véve egy “V” alakú grafikont kapunk. A “V” alsó csúcsa illeszkedik az \(x\) tengelyre, a szárak meredeksége pedig szoros kapcsolatban áll az \(f(x)\) függvény meredekségével.
A \(g(x)=\mid f(x)\mid\) függvény és az \(f(x)\) függvény zérushelye megegyezik, azaz \(x=-\dfrac{b}{a}\). A \(g\) függvény egyik szárának meredeksége \(a\), a másik pedig \(-a\), amely adódik a fentiekben felírt általános alakból.
A \(g(x)=1,5x-3\) lineáris függvény zérushelye \(-\dfrac{-3}{1,5}=2\), azaz \(g(x)=\mid f(x)\mid\) minimum helye is \(x=2\), amely egyben zérushelye is. A \(g(x)\) függvény “V” alakú grafikonja jobb oldali szárának a meredeksége megegyezik \(f(x)\) meredekségével, azaz \(a_j=1,5\). A bal oldali szárának a meredeksége \(a_b=-1,5\).
A \(g(x)=\mid 1,5x-3\mid\) függvény grafikonját a fentiek ismeretében már könnyen fel tudjuk rajzolni, zérushelye (a “V” csúcsa) \((2;0)\), amelyből két félegyenes indul “felfelé”, a jobb oldali meredeksége \(m_j=1,5\), a bal oldalié \(m_b=-1,5\).
1. feladat

Másodfokú függvények

A másodfokú függvények általános alakja
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{f(x)=ax^2+bx+c,\qquad\text{ahol }a,\,b,\,c\in\mathbb{R},\, a\ne 0} \end{aligned}\notag \]
Az \(f(x)=x^2\) a másodfokú függvény jellegzetes görbéjét parabolának nevezzük. A grafikon az \(y\) tengelyre szimmetrikus alakzat. A parabola és a tengely metszéspontját tengelypontnak vagy csúcspontnak nevezzük.
Az értékkészlet legkisebb elemét minimumnak nevezzük. Az értelmezési tartomány azon eleme (elemei), ahol a függvény felveszi a minimumát, a minimumhely. Az értékkészlet legnagyobb elemét maximumnak nevezzük. Az értelmezési tartomány azon eleme (elemei), ahol a függvény felveszi a maximumát, a maximumhely.
A fenti ábrán néhány speciális másodfokú függvényt ábrázoltunk. Az \(f(x)=x^2\) függvényt minden ábrán feltüntettük annak érdekében, hogy az egyes típusok változásait nyomon lehessen követni.
1. feladat

Racionális törtfüggvények

A racionális törtfüggvények közül azokkal a függvényekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében egy elsőfokú, a számlálójában pedig nulladfokú (konstans) algebrai kifejezés áll. Az így kapott függvényeknek a képe hiperbola.
Egy \(f\) függvény páratlan, ha \(x \in D_f\) esetén \(–x \in D_f\) és minden \(x \in D_f\) esetén \(f(–x) = –f(x)\) (vagyis az értelmezési tartomány, és a függvény grafikonja is tükrös az origóra).
Az eddig áttekintett függvények közül az alábbiak páratlanok.
\[ \begin{aligned} f(x)&=x\\ g(x)&=\frac{1}{x}\\ \end{aligned}\notag \]
Egy \(f\) függvény páros, ha \(x \in D_f\) esetén \(–x \in D_f\) és minden \(x \in D_f\) esetén \(f(–x) = f(x)\) (vagyis az értelmezési tartomány, és a függvény grafikonja is tükrös az \(y\) tengelyre).
Az eddig áttekintett függvények közül az alábbiak párosak.
\[ \begin{aligned} f(x)&=\mid x\mid\\ g(x)&=x^2\\ \end{aligned}\notag \]
A fenti ábrán néhány speciális racionális törtfüggvényt ábrázoltunk. Az \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) függvényt minden ábrán feltüntettük annak érdekében, hogy az egyes típusok változásait nyomon lehessen követni.
Az \(f(x)\) függvény aszimptotája olyan görbét, többnyire egyenest jelent, amelyet egy függvény grafikonja “tetszőleges mértékben” megközelít, de nem éri el. Az \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) függvénynek az \(x\) és az \(y\) tengely is aszimptotája.
Az \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) függvénynek nincs egyetlen tengelymetszete sem. Ezzel szemben a függvény transzformáltjának már létezhet.
Számítsuk ki az \(f(x)=\dfrac{4}{x+2}\) függvény tengelymetszeteit (\(x\ne -2\)).
Zérushelye: \(f(x)=0\)
\[ \begin{aligned} \frac{4}{x+2}&\ne 0\\ \end{aligned}\notag \]
A függvénynek nem létezik zérushelye, mert egy tört pontosan akkor lehet nulla, ha a számlálója nulla.
\(y\) tengellyel vett tengelymetszete: \(f(0)\)
\[ \begin{aligned} f(0)&=\frac{4}{0+2}\\ f(0)&=\frac{4}{2}\\ f(0)&=2\\ \end{aligned}\notag \]
Számítsuk ki az \(f(x)=\dfrac{4}{x+2}-4\) függvény tengelymetszeteit (\(x\ne -2\)).
Zérushelye: \(f(x)=0\)
\[ \begin{aligned} \frac{4}{x+2}-4&=0\quad /+4\\ \frac{4}{x+2}&=4&\quad /\cdot(x+2)\\ 4&=4(x+2)\\ 4&=4x+8\\ 4x&=-4\\ x&=-1\\ \end{aligned}\notag \]
\(y\) tengellyel vett tengelymetszete: \(f(0)\)
\[ \begin{aligned} f(0)&=\frac{4}{0+2}-4\\ f(0)&=\frac{4}{2}-4\\ f(0)&=2-4\\ f(0)&=-2\\ \end{aligned}\notag \]
1. feladat

Négyzetgyökfüggvények

A négyzetgyökfüggvény egy fél parabolaág, amelynek a tengelye az \(x\) tengely és tengelypontja az origó.
A négyzetgyökfüggvény esetén a tengelymetszetek meghatározása az eddigi gyakorlat szerint számítható ki. Keressük meg az \(f(x)=2\cdot\sqrt{x+4}\) függvény tengelymetszeteit.
Zérushely \(f(x)=0\).
\[ \begin{aligned} 2\cdot\sqrt{x+4}&=0\quad /:2\\ \sqrt{x+4}&=0\\ x+4&=0\quad /-4\\ x&=-4\\ \end{aligned}\notag \]
Az \(y\) tengellyel vett metszéspontja \(f(0)\).
\[ \begin{aligned} f(0)&=2\cdot\sqrt{0+4}\\ f(0)&=2\cdot\sqrt{4}\\ f(0)&=2\cdot 2\\ f(0)&=4\\ \end{aligned}\notag \]
A fenti ábrán néhány speciális négyzetgyök függvényt ábrázoltunk. Az \(f(x)=\sqrt{x}\) függvényt minden ábrán feltüntettük annak érdekében, hogy az egyes típusok változásait nyomon lehessen követni.
1. feladat

9. osztályos iMatek előfizetések

1 2 3 4 5 6
Vissza: Témakör
Következő Feladatsor

Most kedvező áron az előkészítő csomag

2023 iFeladatok I.

Interaktív feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
4.590 Ft 2022/23 tanévre
  • 20 iFeladat automatikus javítással
  • 19 témakör
  • 121 megoldási lépés
  • Megoldássegítő felépítés
  • 2,15 átlagos nehézség (1-3 skálán)
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

2023 Emelt szintű
matematika előkészítő

Kidolgozott feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
59.900 Ft 2022/23 tanévre
  • 25 kidolgozott témakör
  • Több mint 200 kidolgozott példa
  • 13 interaktív feladatsor
  • 21 elméleti összefoglaló
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelményekkel kiegészítve
  • 25 szóbeli tétel - teljes tételsor
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

2023 Középszintű matematika kurzusok

Tananyag középszintű matematika felkészüléshez
1.750 Ft 2022/23 tanévre, kurzusonként
  • Témakörönkénti előfizetés
  • Megértést segítő magyarázat
  • Definíciók, tételek
  • Kidolgozott típuspéldák
  • Online feladatok, azonnali javítással
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelmények alapján
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei