A box-plot diagramot nézve azonnal szembeötlik, hogy szerepel rajta az átlag, amely nem eleme a standard grafikonnak. Szerencsére most jól fog jönni. Olvassuk le az ábráról a szokásos adatokat.
\[
\begin{aligned}
&\text{minimum \’ert\’ek: }0\\
&\text{als\’o kvartilis: }0,5\\
&\text{medi\’an: }1,5\\
&\text{felső kvartilis: }3,5\\
&\text{maximum \’ert\’ek: }4\\
\end{aligned}\notag
\]
Azt biztosan megállapíthatjuk, hogy volt olyan család, akik az elmúlt hónapban nem voltak moziban, illetve 4-szer mentek a legtöbbször. Az elhibázott diagram választás miatt itt meg is rekedhetne az elemzésünk, azonban az a szerencsés helyzet állt elő, hogy mindkét kvartilis és a medián is tört szám, amely csak úgy állhat elő, hogy páros sok elem miatt átlagot kellett számolni. Összesen 80 család adatait vizsgáljuk, így az alsó és a felső kvartisisbe is 20-20 adat kerül. Az alábbi összefüggéseket írhatjuk fel a sorba rendezett adatok esetén, ha az \(i\)-dik adatot \(x_i\)-vel jelöljük.
\[
\begin{aligned}
x_1 &=0\\
Q_1=\frac{x_{20}+x_{21}}{2} &=0,5\\
Me=\frac{x_{40}+x_{41}}{2} &=1,5\\
Q_2=\frac{x_{60}+x_{61}}{2} &=3,5\\
x_{80}&=4\\
\end{aligned}\notag
\]
Az értékekre teljesül, hogy \(0\leq x_i\leq 4\), ezért \(Q_1=0,5\) csak úgy teljesülhet, hogy \(x_{20}=0,\, x_{21}=1\). Mivel az adatok sorba lettek rendezve, így ebből már az is következik, hogy az első \(20\) elem \(0\). Hasonlóan az előző gondolatmenethez, belátható, hogy \(Q_3=3,5\) miatt az utolsó \(20\) elem \(4\) és előtte \(3\)-as van, azaz \(x_{60}=3,\,x_{61}=4\). Foglaljuk össze, amit eddig tudunk.
\[
\begin{aligned}
\underbrace{0,0,\ldots,0}_{\text{20 darab}},1,x_{22},\ldots,x_{40},Me,x_{41},\ldots,x_{59},3,\underbrace{4,4,\ldots,4}_{\text{20 darab}}
\end{aligned}\notag
\]
A medián értéke \(Me=1,5\), ami a fentieket is figyelembe véve csak úgy lehet ha \(x_{40}=1,\,x_{41}=2\) (az \(x_{40}=0,\,x_{41}=3\) nem lehet \(x_{21}=1\) miatt).
\[
\begin{aligned}
\underbrace{0,0,\ldots,0}_{\text{20 darab}},\underbrace{1,1,\ldots,1}_{\text{20 darab}},2,x_{42},\ldots,x_{59},3,\underbrace{4,4,\ldots,4}_{\text{20 darab}}
\end{aligned}\notag
\]
Az adatok lehetséges értékei \(0,1,2,3,4\), illetve azt is tudjuk hogy 20-20 család volt, akik az elmúlt hónapban nem voltak moziban, egyszer, vagy négyszer voltak. Tudjuk továbbá, hogy volt olyan család, akik kétszer, és olyan is, akik háromszor voltak moziban. A box-plot diagramból ennél többet nem is tudnánk megállapítani, de szerencsére az ábrán szerepel az átlag is (hibásan, mert ez nem rész a box-plot-nak). Írjuk fel az átlagot úgy, hogy \(x\)-szel jelöljük azok számát, akik \(2\)-szer voltak moziban. Azt tudjuk, hogy összesen \(20\)-an vannak, akikről eddig nem tudtuk megállapítani, hogy hányszor voltak moziban.
\[
\begin{aligned}
\frac{20\cdot 0+20\cdot 1+x\cdot 2+(20-x)\cdot 3+20\cdot 4}{80}&=1,875\\
20+2x+60-3x+80&=150\\
10&=x
\end{aligned}\notag
\]
Tehát, \(10\)-en voltak kétszer, és \(10\)-en háromszor moziban az elmúlt hónapban.
\[
\begin{aligned}
\underbrace{0,0,\ldots,0}_{\text{20 darab}},\underbrace{1,1,\ldots,1}_{\text{20 darab}},\underbrace{2,2,\ldots,2}_{\text{10 darab}},\underbrace{3,3,\ldots,3}_{\text{10 darab}},\underbrace{4,4,\ldots,4}_{\text{20 darab}}
\end{aligned}\notag
\]
Nem tudtuk volna egyértelműen megoldani a feladatot, ha az adatok szerkezete nem lett volna ennyire speciális, illetve nem ismertük volna az átlagot. Az ábrázoláshoz a hisztogram lett volna megfelelő (esetleg a kördiagram). A box-plot diagram nem alkalmas osztályok, gyakoriság megjelenítésére, amelyek ismerete fontos a feladatban szereplő adatok elemzésénél. Az alábbi diagramokról minden mutató leolvasható, vagy számítható, amelyet a box-plot diagram mutat. Mindemellett a hisztogram vagy a kördiagram további elemzésekre is alkalmas adatokat tartalmaz, így például az átlag és a szórás is kiszámítható ezek alapján.\(\qquad\square\)
Számítsuk ki az átlag IQ pontot a három esetben, azaz a gyakorisági tábla és a két hisztogram alapján. A hisztogramok esetén az osztályközép értékekkel számolunk.
Copyright © iMatek 2020-2024 – Minden jog fenntartva
