Feladat minta – Középértékek

Egy egységnyi élhosszú négyzetben \(n\) darab (nem feltétlenül azonos oldalhosszúságú) kis négyzetet helyezünk el úgy, hogy semelyik kettőnek ne legyen közös pontja. Bizonyítsd be, hogy a négyzetek oldalhosszúságának összege legfeljebb \(\sqrt n\)!

A feladatot több részben oldjuk meg. A kérdések külön-külön oldalon találhatók. A válaszokat a kérdések sorrendjében add meg, mert nincs mód a visszalépésre a megoldás során.

Jelöljük az \(n\) darab négyzet oldalait \(a_1,\,a_2,\,\cdots ,\,a_n\)-nel. Milyen becslést adhatunk a kis négyzetek területének az összegére?

Egy egységnyi élhosszú négyzetben \(n\) darab (nem feltétlenül azonos oldalhosszúságú) kis négyzetet helyezünk el úgy, hogy semelyik kettőnek ne legyen közös pontja. Bizonyítsd be, hogy a négyzetek oldalhosszúságának összege legfeljebb \(\sqrt n\)!

A feladatot több részben oldjuk meg. A kérdések külön-külön oldalon találhatók. A válaszokat a kérdések sorrendjében add meg, mert nincs mód a visszalépésre a megoldás során.

Mely középértékekre vonatkozó egyenlőtlenséget használhatjuk? (Vedd figyelembe, hogy az oldalak összege és a kis négyzetek területe közti becslést szeretnénk elvégezni!)

Egy egységnyi élhosszú négyzetben \(n\) darab (nem feltétlenül azonos oldalhosszúságú) kis négyzetet helyezünk el úgy, hogy semelyik kettőnek ne legyen közös pontja. Bizonyítsd be, hogy a négyzetek oldalhosszúságának összege legfeljebb \(\sqrt n\)!

A feladatot több részben oldjuk meg. A kérdések külön-külön oldalon találhatók. A válaszokat a kérdések sorrendjében add meg, mert nincs mód a visszalépésre a megoldás során.

Milyen felső becslést adhatunk az alábbi kifejezésre, a kis négyzetek területének maximuma alapján? (Ez az oldalakra felírt négyzetes közép, amely nem kisebb mint az oldalak számtani közepe.)
\[\begin{aligned}
\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}{n}}\\
\end{aligned}\notag\]

Egy egységnyi élhosszú négyzetben \(n\) darab (nem feltétlenül azonos oldalhosszúságú) kis négyzetet helyezünk el úgy, hogy semelyik kettőnek ne legyen közös pontja. Bizonyítsd be, hogy a négyzetek oldalhosszúságának összege legfeljebb \(\sqrt n\)!

A feladatot több részben oldjuk meg. A kérdések külön-külön oldalon találhatók. A válaszokat a kérdések sorrendjében add meg, mert nincs mód a visszalépésre a megoldás során.

Ha eddig helyesen válaszoltál, és kezdted el a bizonyítást, akkor eljuthattál az alábbi becsléshez.

A fentiekből egyszerű átalakításokkal igazolható a feladatban szereplő állítás. Milyen esetben teljesül az egyenlőség?