iMatek

Statisztikai kalkulátorok backup

  • f-próba, hipotézisvizsgálat, t-próba, z-próba
Picture of matematikai alkalmazások

matematikai alkalmazások

Matematikai érdekességek, amelyek jól jöhetnek az érettségin vagy a felvételin is.

Alkalmazások
stat_calc

Oszd meg, ha tetszik!

Statisztikai kalkulátorok hipotézisvizsgálathoz

Standard normális eloszlás \(z_p\) meghatározása


\(\Phi(z)\)
\(z\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
\(\vdots\)
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9572 0,9682 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
\(\vdots\)
A standard normális eloszlás esetén a z-érték (vagy z-score) egy adott érték standardizált távolsága a normális eloszlás várható értékétől (ami 0). Ez a távolság a szórás (\(\sigma = 1\) a standard normális eloszlásban) egységeiben van megadva. A z-érték segítségével meghatározható, hogy az adott érték milyen relatív pozícióban helyezkedik el a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényében.
Hogyan működik a z-érték a standard normális eloszlásban?
  1. A standard normális eloszlás szimmetrikus, középpontja 0 (a várható érték), és a szórása 1.
  2. A z-értékhez tartozik egy kumulált valószínűség, amely azt jelzi, hogy az eloszlás melyik hányada esik az adott z-érték alá.
Z-érték meghatározása táblázat alapján
Kumulált valószínűség (P) ismeretében:
  1. A standard normális eloszlás táblázata megadja a valószínűségeket (P) az eloszlás bal oldali területére vonatkozóan, azaz \(\Phi(z)\)-t, ahol \(\Phi(z) = P(Z \leq z)\).
  2. Az eloszlásfüggvény értékét (az adott valószínűséget) a táblázat két indexe alapján lehet megtalálni:
  3. A z-érték egész és tizedes része az első oszlopban (pl. 1.6),
  4. A z-érték százados része a táblázat felső sorában van feltüntetve (pl. 0.05).
  5. Az adott sor és oszlop metszéspontjában található a valószínűség (pl. 0,9505).
Példa valószínűséghez z-érték meghatározására:
Tegyük fel, hogy a keresett kumulált valószínűség \(P = 0.9332\).
  1. Keressük ki a táblázatból azt a cellát, amelynek értéke \(0.9332\)-hoz legközelebb esik.
  2. A táblázatban megtaláljuk, hogy a \(P = 0.9332\) valószínűséghez a \(z = 1.50\) tartozik.
Z-érték jelentése:
A fenti példában a \(z = 1.50\) azt jelenti, hogy az eloszlásban az érték \(1.5\) szórásnyira van a középponttól (átlagtól), a pozitív irányban, és a bal oldali terület ennek az értéknek megfelelően \(93.32\%\).
Hogyan olvasható ki z-érték a sűrűségfüggvényből (Probability Density Function)?
A sűrűségfüggvény (\(f(z)\)) az adott \(z\)-értéknél az eloszlás magasságát jelzi, de közvetlenül nem használható valószínűségi értékek meghatározására. A sűrűsűgfüggvény görbéje alatti terület az, ami a valószínűséget adja meg, ezért a z-érték interpretálásához az eloszlásfüggvény (Cumulative Distribution Function) értékére van szükség, amit a táblázat szolgáltat.
Részletes útmutató:
  1. Adott valószínűség (P): Ha \(P\)-t ismered, keresd meg a legközelebbi táblázati értéket, és olvasd le a megfelelő \(z\)-értéket.
  2. Adott \(z\)-értékhez \(P\): Ha \(z\)-értéked van, nézd meg az első oszlop és felső sor koordinátáit, és keresd ki az értéknek megfelelő valószínűséget.
  3. Értelmezés: A \(z\)-érték pozitív, ha a mérési érték az átlag fölött van. A \(z\)-érték negatív, ha az átlag alatt van.
Az érték a standard normális eloszlásban mutatja meg az adott hely pozícióját és az ahhoz tartozó valószínűséget.

t-eloszlás \(t_p(\nu)\) meghatározása



\(t_p(\nu))\)
\(p\)
\(\nu\) 0,55 0,60 0,70 0,75 0,80 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995
\(\vdots\)
7 0,130 0,263 0,549 0,711 0,896 1,42 1,90 2,36 3,00 3,50
8 0,130 0,262 0,546 0,706 0,889 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36
9 0,129 0,261 0,543 0,703 0,883 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25
\(\vdots\)
### T-eloszlás és a t-érték meghatározása A **t-eloszlás** (Student-féle t-eloszlás) egy olyan valószínűségi eloszlás, amelyet általában akkor alkalmazunk, ha kis mintanagyság mellett kell következtetéseket levonni, és a populáció szórása ismeretlen. A t-eloszlás hasonlít a standard normális eloszlásra, de szélesebb a farka, ami azt tükrözi, hogy a becslések nagyobb bizonytalansággal járnak. — ### Hogyan működik a t-érték? – A **t-érték** azt jelzi, hogy egy adott érték milyen messze van az eloszlás középpontjától (0), kifejezve a szórás egy speciális egységében, amit a minta alapján becslünk. – A t-eloszlás alakja a **szabadságfokok számától** (\(df\)) függ. Minél nagyobb a szabadságfok (\(df\)), annál inkább hasonlít a t-eloszlás a normális eloszlásra. Kis szabadságfok esetén a t-eloszlás laposabb és szélesebb. — ### T-érték meghatározása táblázat alapján 1. **Kumulált valószínűség (P) ismeretében:** – A t-eloszlás táblázata megadja a t-értéket az adott **szabadságfok** és a megfelelő **szignifikanciaszint** alapján. – A táblázat tipikusan a **szélső értékekhez tartozó valószínűségeket** tartalmazza, például a \(P(T > t)\) vagy \(P(|T| > t)\) valószínűségekhez. Ezért fontos tudni, hogy melyik tesztet vagy eloszlási területet keressük. – A szabadságfok (\(df\)) az első oszlopban található. – A táblázat oszlopai az \(\alpha\) értékeket adják meg (ez a szignifikanciaszint), például \(\alpha = 0.05\), ami \(95\%\)-os konfidenciaszintet jelent. 2. **Példa t-érték meghatározására:** Tegyük fel, hogy \(df = 10\) (szabadságfok) és a szignifikanciaszint \(\alpha = 0.05\) (egyoldalú próba esetén). A táblázatból kikeresve a 10. sor (\(df = 10\)) és a megfelelő oszlop metszéspontjában a t-érték \(t = 1.812\). 3. **T-érték jelentése:** A fenti példában \(t = 1.812\) azt jelenti, hogy a kritikus t-érték (küszöbérték) ezen szignifikanciaszint mellett \(1.812\). Ha a számított t-érték nagyobb ennél, akkor a nullhipotézist elutasítjuk. — ### Hogyan olvasható ki t-érték a PDF-ből (Probability Density Function)? A t-eloszlás PDF-je (\(f(t)\)) a t-érték sűrűségét mutatja az adott szabadságfok mellett, de az elemzéshez az eloszlási terület (kumulált valószínűség) értékére van szükség, amit a CDF (cumulative distribution function) vagy a táblázat biztosít. A PDF csak vizuálisan segít érzékelni a valószínűségek relatív gyakoriságát. — ### Részletes útmutató: 1. **Adott valószínűség (P):** Ha a kumulált valószínűséget vagy a szignifikanciaszintet ismerjük, a szabadságfok alapján ki tudjuk keresni a kritikus t-értéket a táblázatból. 2. **Adott t-értékhez P:** Ha egy konkrét t-értéket szeretnénk egy adott szabadságfokhoz tartozó kumulált valószínűségre leképezni, akkor a t-eloszlás táblázatából vagy egy szoftver segítségével határozhatjuk meg. 3. **Értelmezés:** – A pozitív t-értékek az átlag feletti értékeket jelzik. – A negatív t-értékek az átlag alatti értékeket jelzik. – A t-értékek a minta bizonytalanságát tükrözik, és a mintamérettől függően változnak. — A t-eloszlás tehát kulcsfontosságú eszköz a statisztikában, különösen akkor, ha kis minták mellett kell következtetéseket levonni.

\(\chi^2\)-eloszlás \(\chi^2_p(\nu)\) meghatározása



\(\chi^2(\nu)\)
\(p\)
\(\nu\) 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,25 0,50 0,75 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995
\(\vdots\)
8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 5,07 7,34 10,2 13,4 15,5 17,5 20,1 22,0
9 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 5,90 8,34 11,4 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6
10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,74 9,34 12,5 16,0 18,3 20,5 23,2 25,2
\(\vdots\)
### \(\chi^2\)-eloszlás és a \(\chi^2\)-érték meghatározása A **\(\chi^2\)-eloszlás** egy aszimmetrikus, csak nemnegatív értékeket felvevő valószínűségi eloszlás, amelyet gyakran használnak statisztikai hipotézisvizsgálatokhoz, például szórások összehasonlításához, illeszkedésvizsgálathoz vagy függetlenségvizsgálathoz. Az eloszlás egyik fontos jellemzője, hogy az alakja a **szabadságfokok számától** (\(df\)) függ. — ### Hogyan működik a \(\chi^2\)-érték? – A \(\chi^2\)-érték egy adott minta és a várható értékek közötti eltérés mértékét reprezentálja, figyelembe véve a mintabeli szabadságfokokat. – Az eloszlás alakja aszimmetrikus, és a szabadságfok növekedésével fokozatosan közelít a normális eloszláshoz. Alacsony szabadságfok esetén az eloszlás erősen ferde. — ### \(\chi^2\)-érték meghatározása táblázat alapján 1. **Adott szignifikanciaszinthez (\(\alpha\)):** – A \(\chi^2\)-táblázat megadja a kritikus \(\chi^2\)-értéket az adott **szabadságfokok** (\(df\)) és szignifikanciaszint (\(\alpha\)) alapján. – A szabadságfokok (\(df\)) a táblázat sorai mentén találhatók. – Az oszlopok a szignifikanciaszintet (\(\alpha\)) jelölik, például \(\alpha = 0.05\), ami \(95\%\)-os konfidenciaszintet jelent. 2. **Példa \(\chi^2\)-érték meghatározására:** Tegyük fel, hogy \(df = 10\) és a szignifikanciaszint \(\alpha = 0.05\). A táblázatból kikeresve a 10. sor (\(df = 10\)) és a megfelelő oszlop metszéspontjában található érték például \(18.31\). – Ez azt jelenti, hogy ha a számított \(\chi^2\)-érték nagyobb, mint \(18.31\), akkor elutasítjuk a nullhipotézist ezen a szignifikanciaszinten. 3. **\(\chi^2\)-érték jelentése:** A \(\chi^2\)-érték azt méri, hogy a megfigyelt adatok mennyire térnek el a várható adatoktól, figyelembe véve a szabadságfokokat. Ha a számított \(\chi^2\)-érték nagyobb, mint a kritikus érték, akkor a nullhipotézis (általában a modell vagy függetlenség feltételezése) elutasítható. — ### Hogyan olvasható ki \(\chi^2\)-érték a PDF-ből (Probability Density Function)? A \(\chi^2\)-eloszlás sűrűségfüggvénye (\(f(x)\)) mutatja az egyes \(\chi^2\)-értékekhez tartozó relatív valószínűséget. Az elemzéshez azonban általában a CDF-re (kumulált eloszlásfüggvényre) van szükség, amely a \(\chi^2\)-táblázatból vagy szoftverekkel érhető el. A PDF görbéje aszimmetrikus, és a szabadságfok növekedésével balról jobbra nyúlik ki. — ### Részletes útmutató: 1. **Adott szignifikanciaszinthez:** Ha a szignifikanciaszintet (\(\alpha\)) és a szabadságfokokat (\(df\)) ismerjük, a táblázatból meghatározható a kritikus \(\chi^2\)-érték. 2. **Adott \(\chi^2\)-értékhez tartozó valószínűség (\(P\)):** Ha egy adott \(\chi^2\)-érték valószínűségét keressük, a szabadságfokok alapján kikereshető a kumulált valószínűség. 3. **Értelmezés:** – Nagyobb \(\chi^2\)-érték nagyobb eltérést jelez a megfigyelt és várható értékek között. – A kritikus \(\chi^2\)-érték az a küszöbérték, amelynél elutasítjuk a nullhipotézist. — A \(\chi^2\)-eloszlás kulcsszerepet játszik különféle statisztikai tesztekben, például illeszkedésvizsgálatokban vagy kontingenciatáblák elemzésében. Az értékei segítenek eldönteni, hogy a mintában található eltérések szignifikánsak-e.

F-eloszlás \(F_{\nu_1,\nu_2}(p)\) meghatározása




### F-eloszlás és az F-érték meghatározása Az **F-eloszlás** (Fisher-féle eloszlás) egy aszimmetrikus valószínűségi eloszlás, amelyet két variancia hányadosának vizsgálatára használnak. Az F-eloszlást főként **varianciaanalízisben (ANOVA)**, valamint regressziómodellek és különböző statisztikai hipotézisvizsgálatok során alkalmazzák. Az eloszlás alakját két szabadságfok határozza meg: az **osztó** (\(df_1\)) és a **nevező** (\(df_2\)) szabadságfok. — ### Hogyan működik az F-érték? – Az **F-érték** a minta varianciák közötti arányt méri: \[ F = \frac{\text{Csoportok közötti variancia}}{\text{Csoportokon belüli variancia}} \] – Az eloszlás aszimmetrikus és csak pozitív értékeket vehet fel. – Az eloszlás alakja a két szabadságfoktól függ (\(df_1\) és \(df_2\)): – \(df_1\) az osztó szabadságfoka (pl. a csoportok száma), – \(df_2\) a nevező szabadságfoka (pl. a megfigyelések száma mínusz a csoportok száma). — ### F-érték meghatározása táblázat alapján 1. **Adott szignifikanciaszinthez (\(\alpha\)):** – Az F-eloszlás táblázata megadja a kritikus F-értéket az adott **szignifikanciaszint** (\(\alpha\)) és **szabadságfokok** (\(df_1\) és \(df_2\)) alapján. – Az oszlopok az osztó szabadságfokot (\(df_1\)) jelzik. – A sorok a nevező szabadságfokot (\(df_2\)) tartalmazzák. – A megfelelő cellában található a kritikus F-érték az adott \(\alpha\)-hoz. 2. **Példa F-érték meghatározására:** Tegyük fel, hogy a csoportok száma alapján \(df_1 = 3\), a megfigyelések száma alapján \(df_2 = 20\), és a szignifikanciaszint \(\alpha = 0.05\). A táblázatból kikeresve: – Az oszlopban \(df_1 = 3\), – A sorban \(df_2 = 20\), – A metszéspontban található az F-kritikus érték, például \(F = 3.10\). Ez azt jelenti, hogy ha a számított F-érték nagyobb, mint \(3.10\), akkor a nullhipotézist elutasítjuk ezen a szignifikanciaszinten. 3. **F-érték jelentése:** Az F-érték nagyobb értékei azt jelzik, hogy a csoportok közötti variancia szignifikánsan nagyobb, mint a csoportokon belüli variancia, ami a nullhipotézis elvetéséhez vezethet. — ### Hogyan olvasható ki F-érték a PDF-ből (Probability Density Function)? Az F-eloszlás sűrűségfüggvénye (\(f(F)\)) az F-értékek relatív gyakoriságát jelzi az adott szabadságfokok mellett, de az elemzésekhez általában a kumulált valószínűség (CDF) szükséges. A PDF alapján csak az F-eloszlás görbéje és az egyes értékek relatív valószínűségei láthatók. Az eloszlás táblázata vagy szoftverek (pl. Excel, R, SPSS) segítenek meghatározni az adott F-értékhez tartozó valószínűséget vagy kritikus értéket. — ### Részletes útmutató: 1. **Adott szignifikanciaszinthez (\(\alpha\)):** Ha \(\alpha\), \(df_1\) és \(df_2\) ismert, akkor a táblázatból meghatározható a kritikus F-érték. Ez az a küszöbérték, amelyet az F-próba eredményeinek értelmezésekor használunk. 2. **Adott F-értékhez tartozó valószínűség (\(P\)):** Ha egy konkrét F-értékhez tartozó valószínűséget keresünk, akkor a szabadságfokok és szoftverek segítségével meghatározható, hogy ez az érték milyen szignifikanciaszint mellett szignifikáns. 3. **Értelmezés:** – Ha az F-érték meghaladja a kritikus értéket, akkor a csoportok közötti különbségek szignifikánsak. – Ha az F-érték kisebb, mint a kritikus érték, akkor nincs elegendő bizonyíték a csoportok közötti szignifikáns különbség megállapítására. — Az F-eloszlás tehát kulcsfontosságú az olyan statisztikai elemzésekben, ahol varianciák hányadosát kell értékelni, különösen ANOVA és regressziós modellek esetében. Az eloszlás lehetővé teszi, hogy következtetéseket vonjunk le a csoportok közötti eltérések szignifikanciájáról.

Egymintás, kétoldali Z-próba





Érdekességek

További alkalmazások

Kriptográfia

A nyílt kulcsú kriptográfia rendkívüli ütemben fejlődik, hogy lépést tudjon tartani a technológia és a biztonságos információ átadás és tárolás iránti igényeinkkel. Megfejteni lényegében lehetetlen.

Tovább olvasom »

Most kedvező áron az előkészítő csomag

2023 iFeladatok I.

Interaktív feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
4.590 Ft 2022/23 tanévre
  • 20 iFeladat automatikus javítással
  • 19 témakör
  • 121 megoldási lépés
  • Megoldássegítő felépítés
  • 2,15 átlagos nehézség (1-3 skálán)
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

2023 Emelt szintű
matematika előkészítő

Kidolgozott feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
59.900 Ft 2022/23 tanévre
  • 25 kidolgozott témakör
  • Több mint 200 kidolgozott példa
  • 13 interaktív feladatsor
  • 21 elméleti összefoglaló
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelményekkel kiegészítve
  • 25 szóbeli tétel - teljes tételsor
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

2023 Középszintű matematika kurzusok

Tananyag középszintű matematika felkészüléshez
1.750 Ft 2022/23 tanévre, kurzusonként
  • Témakörönkénti előfizetés
  • Megértést segítő magyarázat
  • Definíciók, tételek
  • Kidolgozott típuspéldák
  • Online feladatok, azonnali javítással
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelmények alapján
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

Kapcsolat

Dokumentumok

Pénzügyi Partnerünk

CIB Bank

Elfogadott kártyák

Bankkártyák

    Írj nekünk!



    Facebook Map-marker-alt Tiktok

    Ügyfélszolgálat

    • Telefon: +36 30 427-6190
    • hétfő-péntek: 8:00-16:00

    Vásárlási kisokos

      Copyright © iMatek 2020-2024 – Minden jog fenntartva