Arányosság 9. középszint

9. osztály
középszint

Algebra 9/I. Arányosság 9. középszint

Hogyan adhatunk meg arányosságot?

Arány meghatározása Jelentése Ábra
A férfiak és a nők aránya \(3:7\).
Ha a férfiak száma \(a\) és a nőké \(b\), akkor \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{7}\).
A nők \(\dfrac{7}{3}\)-szor többen vannak.
A nők számának \(\dfrac{3}{7}\)-e a férfiak száma.
A férfiak számának \(\dfrac{7}{3}\)-a a nők száma.
Az emberek \(0,3\)-e férfi és \(0,7\)-e nő.
\(10\) emberből \(3\) férfi és \(7\) nő.
Az emberek \(30\%\)-a férfi, a \(70\%\)-a nő.
A fenti megfogalmazások ugyanazt az arányt jelentik, azonban két, lényegében eltérő számpárost találunk.
  1. Az arányok első meghatározása a \(3:7\) arányszám megadása, amely azonos arányt jelent, mint a \(\dfrac{3}{7}\).
  2. A második meghatározás alapján az összes ember \(0,3\)-e férfi és a \(0,7\)-e nő.
Fontos, hogy az első a férfiak és a nők számának arányát egymáshoz képest adja meg. A második megfogalmazás pedig a férfiak és a nők számának összegéhez viszonyítva adja meg a férfiak és a nők számának arányát.
Ha a második módon adjuk meg az arányt, azaz például, a tóban lévő halak \(0,4\)-e ragadozó, a \(0,6\)-e pedig növényevő, akkor mindig teljesül, hogy az arányok összege \(1\), azaz \(0,4+0,6=1\).
Ha szeretnénk áttérni az első megfogalmazásról a másodikra, akkor a férfiak arányát az összes emberéhez képest a \(\dfrac{3}{3+7}=0,3\) számítással kapjuk meg. A nők számának aránya hasonlóan \(\dfrac{7}{3+7}=0,7\).
Fordítva pedig a \(0,3\) és \(0,7\) arányt osztjuk egymással: \(\dfrac{0,3}{0,7}=\dfrac{3}{7}\), amelyből már adódik a \(3:7\) alakú felírás is.
Ha egy termék \(100\) forintos árát \(4:1\) arányba osztjuk fel, amelyből a nagyobb rész a gyártási költség, a kisebb pedig a haszon, akkor kétféleképpen is megadhatjuk a haszon mértékét:
  1. A termék teljes \(100\) forintos árának \(\dfrac{1}{5}\), azaz \(20\%\)-a haszon, a fennmaradó \(\dfrac{4}{5}\), azaz \(80\%\) pedig a költség. Tehát a \(20\) forint haszon a teljes ár ötöde.
  2. A termék előállítási költségének \(\dfrac{1}{4}\)-vel, azaz \(25\%\)-kal növeljük az árát, így a költségek negyedével kell növelni az árat, hogy az előző pontban megadott \(20\) forintos haszonnal egyező legyen a nyereség.
1. feladat
2. feladat
3. feladat

Hogyan oszthatunk fel egy adott értéket ismert arányok szerint?

Arány meghatározása Felosztás módszere Ábra
15 kg gyümölcsben a szilva és a körte aránya \(2:3\).
Jelöljük \(2x\)-szel a szilva és \(3x\)-szel a körte mennyiségét.
A számításhoz egyszerű egyenletet írunk fel:
\[ \begin{aligned} 2x+3x&=15\\ 5x&=15\\ x&=3\\ \end{aligned}\notag \]
\(x\)-et értelmezhetjük úgy, hogy ha a gyümölcsöket egyforma egységcsomagokba tesszük, akkor \(3\,kg\)-os csomagokat készítenénk.
Az eredmény \(2x=2\cdot 3=6\,kg\) szilva és \(3x=3\cdot 3=9\,kg\) körte van a ládában.
Egy ládában 15 kg gyümölcs van. Másfélszer több körte van a ládában, mint szilva.
Jelöljük \(x\)-szel a szilva mennyiségét, akkor \(1,5\cdot x\) lesz a szilva mennyisége.
A számításhoz egyszerű egyenletet írunk fel:
\[ \begin{aligned} 1,5\cdot x+x&=15\\ 2,5\cdot x&=15\\ x&=6\\ \end{aligned}\notag \]
Ebben az esetben \(x\)-szel jelöltük a szilva mennyiségét, így közvetlenül az eredményt kaptuk meg. \(x=6\,kg\) szilva és \(1,5\cdot 6=9\,kg\) körte van a ládában.
Az előző oldalon bemutatott kétféle értelmezéssel adtunk meg arányokat. A kétféleképpen megadott arány ugyanarra az eredményre vezetett, azonban ezt az előző oldalon részletezett számítással már az elején beláthattuk volna.
Ha a szilva és a körte aránya \(2:3\)-hoz, akkor a szilva aránya az összes gyümölcshöz képest \(\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}\). A körte aránya az összes gyümölcshöz képest \(\dfrac{3}{2+3}=\dfrac{3}{5}\).
A körte aránya a szilvához képest \(3:2\), azaz \(\dfrac{3}{2}=1,5\). Tehát másfélszer több körte van a ládában, mint szilva.
1. feladat
2. feladat

1. Típuspélda: arányok megváltozása

Feladat
Egy étteremben a kávét illetve a teát fogyasztók aránya \(4:11\). Minden vendég vagy teát vagy kávét iszik. Egy újonnan érkezett 5 fős társaságból mindenki kávét rendelt, így a kávét illetve teát fogyasztók aránya \(3:7\) arányra változott. Hány vendég volt eredetileg az étteremben?
Táblázat I.
Kávét fogyasztók száma Teát fogyasztók száma Kávét illetve teát fogyasztók aránya
Eredetileg a vendégek száma
\(4x\)
 \(11x\) \(4x:11x=4:11\)
Újonnan érkezett vendégekkel az összes vendég száma
\(4x+5\)
 \(11x\) \((4x+5):11x=3:7\)
Megoldás

A táblázatot úgy készítettük el, hogy a feladat adatait áttekinthetően rendezni tudjuk. Az első sorban az étteremben eredetileg az lévő vendégek adatai kerültek, két csoportba osztva, aszerint, hogy teát vagy kávét isznak. A két csoport számának felírását az első oldalon bemutatott módszer szerint végeztük el. A második sor az újonnan érkezett vendégekkel együtt mutatja, hogy mennyien isznak kávét vagy teát, illetve a két csoport számának az arányát.
A táblázat lényegében már tartalmazza azt az egyenletet, amelyet megoldva megkapjuk az első fontos részeredményt:
\[
\begin{aligned}
\frac{4x+5}{11x}&=\frac{3}{7}\\
7\cdot(4x+5)&=3\cdot 11\cdot x\\
28x+35&=33x\\
35&=5x\\
x&=7\\
\end{aligned}\notag
\]
Eredetileg az étteremben lévő vendégek száma \(4x+11x=15x\) volt, így \(x=7\) behelyettesítésével megkapjuk a választ a feladat kérdésére, azaz \(7\cdot 15=105\) vendég volt eredetileg az étteremben. Ezt követően természetesen visszahelyettesíthetnénk \(x=7\) értéket a táblázatba és egyéb adatokat is leolvashatnánk. Például eredetileg és az újonnan érkezett vendégeket is figyelembe véve \(11x=11\cdot 7=77\) vendég fogyasztott teát.
Az ábrát már csak \(x=7\) ismeretében tudjuk elkészíteni, de jól szemlélteti a változást.
Módosított feladat
A fenti feladatban felírt táblázat első három oszlopa általánosságban is használható, azonban az adatok közti kapcsolattól függően az utolsó oszlop változhat, illetve előfordulhat, hogy egy további sor beiktatása célravezető lehet.
Ha az előző feladat végén nem az újonnan jött társasággal kiegészült vendégek két csoportjának az aránya lenne megadva, hanem például az eredeti és az újonnan érkezett társasággal kiegészült, kávét fogyasztó vendégek aránya lenne megadva, akkor a táblázat a következőképpen alakulna. Az arány legyen \(28:33\).
Táblázat II.
Kávét fogyasztók száma Teát fogyasztók száma
Eredetileg a vendégek száma
\(4x\)
 \(11x\)
Újonnan érkezett vendégekkel az összes vendég száma
\(4x+5\)
 \(11x\)
Az azonos italt fogyasztók aránya
\(4x:(4x+5)=28:33\)
 –
Megoldás
Az egyenlet ismét adott a táblázatban, amelyet meg kell oldni: \[ \begin{aligned} \frac{4x}{4x+5}&=\frac{28}{33}\\ 33\cdot 4\cdot x&=28\cdot (4x+5)\\ 132x&=112x+140\\ 20x&=140\\ x&=7\\ \end{aligned}\notag \]
A feladat befejezése megegyezik az előző feladatéval.
1. feladat

2. Típuspélda: mennyi marad a végén?

Feladat
Egy kerékpár túra első napján a teljes út \(\dfrac{2}{5}\)-ét tették meg, míg a második napon a harmadát. A harmadik, utolsó napra \(24\,km\) táv maradt a túra végéig. Hány kilométer volt a három napos túra teljes távolsága?
Ábra
1. nap 2. nap 3.nap Összesen
\(\dfrac{2}{5}\) \(\dfrac{1}{3}\) \(m=?\) \(1\)
\(? km\) \(? km\) \(24\,km\) \(x\,km\)
Megoldás
A megoldáshoz készítettünk egy ábrát és egy táblázatot is. A kettő együttes alkalmazása nem szükséges, talán az ábra adhat nagyobb segítséget. Az ábránál (a táblázatnál is) fontos, hogy az arányokat és a \(km\)-ben megadott értékeket külön kezeljük. Ennek megfelelően az egyes napokon megtett távokat jelző színes négyzetek felett a \(km\)-ben, alatta pedig a teljes úthoz viszonyított napi arányokat tüntettük fel.
A megoldáshoz szükséges összefüggést a feladat nem mondja ki, csak áttételesen jelenik meg benne: az egyes napokon megtett útszakasz arányok összege 1. \[ \begin{aligned} \frac{2}{5}+\frac{1}{3}+m&=1\\ \frac{6}{15}+\frac{5}{14}+m&=1\\ \frac{6+5}{15}+m&=1\\ m&=1-\frac{11}{15}\\ m&=\frac{4}{15} \end{aligned}\notag \]
Az ábrán két sárga nyíl található, amelyből az ábra alatt a fentiekben felhasznált összefüggést jelöli. A jobb oldali sárga nyíl azt jelenti, hogy ha az út teljes hosszát \(x\)-szel jelöljük, akkor \(m\cdot x=24\). (Hasonlóan igaz a kékkel és a bordóval jelölt szakaszokra is.) \[ \begin{aligned} m\cdot x&=24\\ \frac{4}{15}\cdot x&=24\\ x&=90\,km\\ \end{aligned}\notag \]
Tehát a válasz: a három napos túra teljes hossza \(90\,km\). \(x=90\,km\) ismeretében az első és második napon megtett táv is kiszámítható, amely rendre \(36\,km\) és \(30\,km\).
1. feladat

3. Típuspélda: halmozott arányok

Feladat
Egy középiskolába jelentkezők kétfordulós felvételi eljáráson vesznek részt. A jelentkezők \(\dfrac{1}{21}\)-ed része nem ment el az elsőkörös felvételire, ahol a diákok \(\dfrac{7}{8}\)-ad része teljesítette az elvárt szintet. Az utolsó fordulót a továbbjutók \(0,2\)-e teljesítette, így 28 tanulót vettek fel. Hány diák jelentkezett a felvételire?
Ábra I.
Megoldás
Az ábrát már az eredmény ismeretében készítettük el, azonban a megértéshez sokat segíthet és a megoldáshoz lényegében csak a sárga nyilakra írt számoknak és műveleti jeleknek van jelentőssége.
A feladat szövegének lépéseit az ábra alatti sárga nyilak jelölik, amelynek a fordítottját végezzük el a megoldás során, az ábra feletti sárga nyilak jelölését követve. \[ \begin{aligned} \left(\left(28:0,2\right):\frac{7}{8}\right):\frac{20}{21}\\ \left(\left(28:\frac{2}{10}\right):\frac{7}{8}\right):\frac{20}{21}\\ \left(\left(28\cdot\frac{10}{2}\right)\cdot\frac{8}{7}\right)\cdot\frac{21}{20}\\ \left(140\cdot\frac{8}{7}\right)\cdot\frac{21}{20}\\ 160\cdot\frac{21}{20}\\ 168\\ \end{aligned}\notag \]
Tehát 168-an jelentkeztek az adott középiskolába.
Ugyanerre az eredményre jutottunk volna, ha a következő egyenletet írjuk fel az alsó sárga nyilak által jelölt logika mentén: \[ \begin{aligned} 28&=\left(\left(x\cdot \dfrac{20}{21}\right)\cdot\frac{7}{8}\right)\cdot 0,2\\ \end{aligned}\notag \]
Módosított feladat
Egy középiskolába jelentkezők kétfordulós felvételi eljáráson vesznek részt. A jelentkezők \(\dfrac{5}{6}\)-od része és még 20 fő nem ment el az elsőkörös felvételire, ahol a diákok \(\dfrac{2}{3}\)-ad része teljesítette az elvért szintet. Az utolsó fordulót a továbbjutók \(0,4\)-e teljesítette, így 32 tanulót vettek fel. Hány diák jelentkezett a felvételire?
Ábra II.
Megoldás
A feladatot módosítottuk, hogy a továbbjutók ne csak az előzőek bizonyos hányada legyen, hanem ezen felül még adott számú diákkal is csökken a felvételizők száma.
A megoldást az előző feladat végén bemutatott módszerrel fogjuk levezetni. \[ \begin{aligned} 32&=\left(\left(x\cdot \dfrac{5}{6}-20\right)\cdot\frac{2}{3}\right)\cdot 0,4\\ 32&=\left(x\cdot \dfrac{5}{6}\cdot\frac{2}{3}-20\cdot\frac{2}{3}\right)\cdot 0,4\\ 32&=\left(x\cdot \dfrac{5}{9}-\frac{40}{3}\right)\cdot \frac{4}{10}\\ 32&=x\cdot \dfrac{5}{9}\cdot\frac{4}{10}-\frac{40}{3}\cdot\frac{4}{10}\\ 32&=x\cdot \dfrac{2}{9}-\frac{16}{3}\\ 288&=2x-48\\ 336&=2x\\ x&=168 \end{aligned}\notag \]
Az eredmény megegyezik az előző feladat eredményével, azaz 168 diák jelentkezett az adott középiskolába.
1. feladat

4. Típuspélda: arányok keresztben-hosszában

Feladat
Egy partira háromféle desszertet készítenek: gyümölcssalátát, fagylaltot és fagyit csümölccsel. Összesen 60 vendéget hívtak meg, akik közül 9 nem szereti a fagylaltot. A meghívottak \(\dfrac{7}{12}\)-e szereti a gyümölcsöt. Azoknak az \(\dfrac{1}{5}\)-e nem szereti a fagyit, akik szeretik a gyümölcsöt. A vendégek csak olyan édességet ettek a partin, amelynek minden hozzávalóját szeretik. Hány olyan vendég volt, aki nem tudott desszertet választani, azaz se a fagyit se a gyümölcsöt nem szereti? Mennyi volt a gyümölcssalátát és a gyümölcs nélküli fagylaltot választók aránya?
Táblázat I.
Szereti a gyümölcsöt Nem szereti a gyümölcsöt Összesen (fő/arány)
Szereti a fagyit a b \(60-9=51\)
c d e
Nem szereti a fagyit f g 9
\(\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{1}{5}\) h i
Összesen (fő/arány) \(60\cdot\dfrac{7}{12}=35\) j 60
\(\dfrac{7}{12}\) k l
Megoldás
A megoldást a táblázat segítségével követhetjük végig, amelyet lépésenként töltünk ki. Sötét lilával jelöltük azokat a mezőket, amelyek a feladat szövegéből adódnak, a sárgával részek pedig azokat az adatokat jelölik, amelyek a válaszokat adják (vagy ahhoz közvetlenül kellenek). Fontos, hogy minden mezőbe úgy írjuk be a számokat (ha lehetséges), hogy minden arány az összess meghívott vendég számához legyen viszonyítva. Ha nem tudunk minden mezőt az összes vendég számához viszonyítani, akkor mindenképpen figyelni kell arra, hogy az adott arány mire vonatkozik. Ennek megfelelően azok aránya, akik szeretik a gyümölcsöt, de nem szeretik a fagyit, a meghívott vendégek \(\dfrac{7}{12}\)-nek az \(\dfrac{1}{5}\)-e. Az eredeti táblázatba a feladat adataiból közvetlenül számolható értékeket lilával jelöltük.
A megoldást lényegében a táblázat kitöltésével kapjuk meg. A következőkben az egyes lépések sorszámát az eredmények mögé beírjuk a táblázatba és minden számításhoz az előzőek eredményét már felhasználjuk, ha szükséges.
  1. \(j=60-35=25\)
  2. \(f=\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot 60=7\)
  3. \(g=9-7=2\)
  4. \(b=25-2=23\)
A feladat első kérdésére megkaptuk a választ, amelyet a \(g\) jelű mező tartalmaz, azaz \(2\) vendég volt, akik nem tudtak desszertet választani.
A gyümölcssalátát és a gyümölcs nélküli fagylaltot választók aránya \(f:b=7:23\).
A táblázat többi cellái is számíthatóak lennének az adatokból, de a feladat megoldásának szempontjából nincs szükségünk rá.
Szereti a gyümölcsöt Nem szereti a gyümölcsöt Összesen (fő/arány)
Szereti a fagyit a 23 (4) \(60-9=51\)
c d e
Nem szereti a fagyit 7 (2) 2 (3) 9
\(\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{1}{5}\) h i
Összesen (fő/arány) \(60\cdot\dfrac{7}{12}=35\) 25 (1) 60
\(\dfrac{7}{12}\) k l
1. feladat

Egyenes arányosság

Egyenes arányosság

Akkor mondjuk, hogy két mennyiség egyenesen arányos, ha teljesül, hogy ahányszorosára változik az egyik mennyiség, ugyanannyiszorosára változik a másik.
Egyenesen arányos mennyiségeknél az összetartozó értékpárok hányadosa (aránya) egyenlő.

Egyenes arányosság grafikonok
Kamat I.
\(a=10.000\) forint tőkét helyezünk el betétként egy bankban. A kamat \(p=10\%\), az évek számát, amennyi ideig a tőke kamatozik \(t\)-vel jelöljük. A kamatot nem tőkésítik, így nem a kamatos-kamatot vizsgáljuk ebben az esetben. A \(t\) idő elteltével kapott kamatot jelöljük \(K\)-val.
\[ \begin{aligned} K&=a\cdot p\cdot t\\ \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} a\cdot p&=\frac{K}{t}\\ \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} t&=\frac{K}{a\cdot p}\\ \end{aligned} \]
Ábrázoljuk koordináta rendszerben az \((1)\) összefüggést, azaz a \(K\) kamat összegét írjuk fel az eltelt \(t\) idő függvényében.
Ha egy éven át a bankban tartjuk a pénzünket, akkor \(K=a\cdot p\cdot t=10.000\cdot 0,1\cdot 1=1.000\) forint kamatot kapunk, melyet a fenti ábrán \(A(1;1.000)\) pont jelöl. Ha két évig kamatoztatjuk a pénzt, akkor \(B(2;2.000)\) pont jelöli az eredményt, azaz \(2.000\) forint kamatot kapunk. Kétszer annyi idő, kétszer annyi kamatot eredményez, azaz egyenes arányosságról beszélhetünk.
Az egyenes arányosságot leíró függvény képe egy egyenes, amelyről az arányokat az egyenes egyes pontjainak koordinátáiból tudjuk leolvasni. Bármely pont első és második koordinátájának hányadosa állandó.
kamat II.
A kamatot más módon is ábrázolhatjuk az idő függvényében. Az előző ábrán a vízszintes tengelyen a a betét elhelyezése óta eltelt időt jelöltük, a függőlegesen pedig az adott időpontig megszolgált kamat összegét.
Készítsünk egy olyan ábrát, amely minden időpillanatban az éppen érvényes kamatlábat mutatja.
A vízszintes tengelyen továbbra is az időt mérjük, a függőleges tengelyen pedig azt, hogy mennyi az adott időpontban érvényes kamatláb. Az \(A\) pont azonos állapotot jelöl, mint az előző grafikon \(A\) pontja, bár itt a koordinátái mást jelentenek és az értékük is más. \(A(1;10)\) azt jelenti, hogy az első év végén a kamatláb \(10\%\), amelyhez az is hozzátartozik, hogy \([0;1]\) intervallumon a függvény értéke \(p=10\%\).
A \(10\%\)-nál húzott vízszintes egyenes pontjainak koordinátái között érdekes összefüggést találhatunk, a két koordináta szorzata az adott időpontig megszolgált kamat kamatlábát mutatja. Az első év végén \(A(1;10)\) azt jelenti, hogy ebben az időpontban az elhelyeztett tőke \(10\%\)-át kapjuk meg kamatként. Hasonlóan \(B(2;20)\) pont jelentése, hogy a második év végén \(20\%\) kamatot kapunk a tőkére. A két koordináta szorzata az egyenes alatt, lilával jelölt téglalapok területét adja, amelyek segítségével szintén leolvashatjuk az egyenes arányosságra jellemző összefüggést, a téglalapok területe egyenesen arányos az idővel. Kétszer annyi idő alatt kétszer akkora a kamatláb, azaz a téglalap területe.
1. feladat

Fordított arányosság

Fordított arányosság

Akkor mondjuk, hogy két mennyiség fordítottan arányos, ha teljesül, hogy ahányszorosára nő az egyik menynyiség, annyiad részére csökken a másik, illetve ahányad részére csökken az egyik, annyiszorosára nő a másik. Fordítottan arányos mennyiségeknél az összetartozó értékpárok szorzata egyenlő.

Fordított arányosság grafikonok
Kamat I.
\(a=10.000\) forint tőkét helyezünk el különböző kamatozású befektetésekben egy bankban. A hozammal szembeni egyetlen elvárásunk van, \(1.000\) forintot szeretnénk keresni. A kamatot nem tőkésítik, így nem a kamatos-kamatot vizsgáljuk ebben az esetben. A különböző befektetések esetén az éves \(p\) kamatlábat ismerjük. A kamatot tetszőleges időpontban kifizeti a bank, a befektetés kezdő időpontjától eltelt \(t\) idő arányában. Az alábbi ábrán azokat a pontokat jelöltük meg, amelyek adott \(t\) idő és \(a\cdot p\) évesített kamatösszeg esetén éppen \(1.000\) forint összesített hozamot biztosít. Az évesített kamatösszeg azt mutatja meg, hogy egy év alatt a \(p\) éves kamatláb esetén mekkora kamatot kapunk. Ha az évesített kamatösszeget megszorozzuk az eltelt \(t\) idővel, akkor az erre az időszakra jutó kamatösszeget kapjuk.
\[ \begin{aligned} 1.000&=a\cdot p\cdot t\\ \end{aligned}\notag \]
Ábrázoljuk koordináta rendszerben a fenti összefüggést, azaz az \(a\cdot p\) évesített kamat összegét írjuk fel az eltelt \(t\) idő függvényében úgy, hogy a teljes kamatösszeg, az adott időszakra \(1.000\) forint legyen.
Az \(1.000=a\cdot p\cdot t\) képletet igazzá tevő három állapotot jelöltünk meg az ábrán. Az alapot az \(A\) pont adja, amelynek koordinátái \(A(1;1.000)\), azaz 1 év elteltével \(a\cdot p=1.000\) forint kamatot kapunk a befektetés után, amely \(a=10.000\) tőke esetén azt jelenti, hogy a kamatláb \(\dfrac{1.000}{10.000}=0,1=10\%\). A \(B(2;500)\) azt jelenti, hogy két év alatt évi \(500\) forintot kell keresnünk, hogy a befektetéssel szembeni elvárásunk teljesüljön, amely \(5\%\)-os évi kamatlábat jelent. A \(C(0{,}5;2.000)\) befektetés esetén fél év alatt évi \(20\%\)-os kamatláb mellett keresnénk meg az elvárt \(1.000\) forintos hozamot. Az \(A,\,B,\,C\) pontokhoz berajzolt téglalapok területe az adott időszak alatt megkereshető összes hozamot jelöli, így azok területe azonos. Az eltelt idő és a évesített hozam összege fordítottan arányos, azaz az \(A\) befektetési módhoz hasonlítva a \(B\) esetén kétszer akkora összegű éves hozam mellett fele annyi idő szükséges, hogy azonos összegű hozamot kapjunk.
kamat II.
Az előző oldalon a kamat és az idő közti egyenes arányosságot mutattuk be. Az előző ábra megismétlését követően hasonlítsuk össze a két feladatot.
Az egyenes arányosságnál a befektetésre szánt összeg mellett az éves kamatláb volt állandó, amelynek megfelelően az eltelt idővel egyenes arányban nőtt a megszolgált kamat összege.
A fordított arányosságnál a befektetésre szánt összeg állandó volt, amely mellett a hozam összegét tekintettük állandónak. A fix összegű hozamelvárás mellett különböző kamatlábat ajánló befektetéseket hasonlítottunk össze és azt tapasztaltuk, hogy ha rövidebb ideig szeretnénk a pénzt lekötve tartani, akkor magasabb kamatláb szükséges azonos hozam eléréséhez.
Ha a fordított arányosságot nem csak a pozitív számokon értelmezzük, hanem a negatívokon is, akkor a függvény képe egy hiperbola. Az előzőek alapján tudjuk, hogy a hiperbola egy-egy pontja, mint csúcspont és az origó illetve a koordinátatengelyek által meghatározott téglalapok területe állandó, azaz a hiperbola tetszőleges pontjának a koordinátáit összeszorozva ugyanazt az értéket kapjuk.
1. feladat

Arányosság a gyakorlatban

Együttes munka – teljesítmény

Az együttes munkavégzéses feladatok megoldásához gyakran a teljesítmény kiszámításán keresztül vezet az út, amelyet a szöveges feladatok fejezetben részletesen megvizsgálunk. Az alábbiakban egy egyszerű példán keresztül, a fordított arányosság grafikonjának felhasználásával mutatunk be egy megoldási módszert, amely segít megérteni a feladattípust.

Feladat I.
Egy gödör megtelik talajvízzel, amely folyamatosan szivárog. A vizet szeretnék eltávolítani két szivattyú segítségével. A gödör méretéből, illetve a szivattyúk teljesítményéből tudják, hogy ha csak az I. szivattyút működtetik, akkor \(1,5\) óra, ha csak a II. szivattyút üzemeltetik, akkor \(2\) óra alatt ürülne ki a gödör abban az esetben, ha nem szivárogna befelé folyamatosan a talajvíz. A vizet a két szivattyú együttes működésével \(3\) óra alatt tudják teljesen eltávolítani. Ha nem működnek a szivattyúk, akkor mennyi idő alatt telik meg ismét a gödör a szivárgó talajvízzel?
Ábra
A megoldás során egy ábrát készítünk, amelyen az \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) függvényt rajzoljuk fel. A függvényen jelöljük a két szivattyú által végzett munkát és ellenkező előjellel a beszivárgó talajvíz “munkáját”.
megoldás
A megoldást elvégezhetjük a klasszikus módon is, amelynek csak a főbb lépéseit nézzük át.
\[ \begin{aligned} \frac{1}{2}x+\frac{1}{1,5}x-\frac{1}{3}x&=1\quad(x\ne 0)\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{1,5}-\frac{1}{3}&=\frac{1}{x}\\ \frac{5}{6}&=\frac{1}{x}\\ x&=\frac{6}{5}=1,2 \end{aligned}\notag \]
Tehát \(1,2\) óra alatt ürül ki a gödör, ha mindkét szivattyú működik, de a talajvíz továbbra is szivárog. A megoldást az ábráról is leolvashatjuk, ahol a sárga, a világoskék és a bordó nyilak a két szivattyú és a beáramló talajvíz teljesítményét jelölik. A három teljesítményt előjelesen összegezve a kapott értéket felmérjük az \(y\) tengelyre az origóból, majd az \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) függvény helyettesítési értékét megkeressük. Az eredmény megegyezik a fenti számítással, csak a szemléltetés különbözik. Az ábrán jelölt egyes téglalapok területe egyenlő, amelyek a szivattyúk és a beszivárgó víz által végzett munkát mutatják. Minden esetben a teljes gödör megtöltését vagy a benne lévő víz kiszivattyúzását tekintjük az egységnyi munka mennyiségének, amelyhez a különböző teljesítményeknél más-más időtartam szükséges.
Feladat II.
Egy \(12\) km hosszú körpályán javítják a burkolatot. A javítást két csapat végzi, akik azonos helyről indulnak, de ellenkező irányba kezdik el a munkát. Az \(A\) csapat \(4\) km-en, a \(B\) pedig fele annyi úton végzi el a javítást óránként. Hány óra kell a teljes munka elvégzéséhez, illetve milyen arányban végzi el a két csapat együtt a munkát?
Ábra
A megoldás sorához két ábrát is készíthetünk. Az elsőn egy vázlatot mutatunk be, a másodikon a két csapat sebességét ábrázoljuk koordináta rendszerben.
Az \(A\) csapat sebességét az \(a\), a \(B\) csapatét pedig a \(b\) egyenes mutatja. Mindkét csapat egyenletesen dolgozik, azaz a sebességük egyenes arányossággal írható le. Speciálisan felveszünk egy harmadik \(c\) egyenest is, amelynek adott \(x\) tengelyen mért értékéhez tartozó második koordinátáit úgy kapjuk, hogy az \(a\) és \(b\) egyenesek azonos \(x\) értéknél felvett értékeit összegezzük. (“Az \(a\) és \(b\) egyenest függőlegesen összegezzük.”) A \(c\) egyenes nem más mint a két csapat relatív sebességét mutató egyenes.
megoldás
A megoldást elvégezhetjük a klasszikus módon is, amelynek csak a főbb lépéseit nézzük át. A megoldás során felhasználjuk az \(s=v\cdot t\) sebesség-út-idő közti összefüggésre vonatkozó képletet a szokásos jelölésekkel. \(x\)-szel jelöljük a javítási munka teljes időtartamát.
\[ \begin{aligned} 4x+2x&=12\\ 6x&=12\\ x&=2\\ \end{aligned}\notag \]
Tehát \(2\) óra alatt javítja meg a teljes körpályát a két csapat.
A feladatban szándékosan egyszerű problémát írtunk fel, hogy az eredményt könnyebben meg tudjuk vizsgálni. A sebességek koordináta rendszerben történt ábrázolásából láthatjuk, hogy a \(c\) jelű egyenes \(B(2;12)\) pontja kulcsfontosságúi a megoldásban. A két csapat relatív sebességét tekinthetjük az együttesen elvégzett munka sebességének, amellyel a teljes munka elvégzéséhez szükséges idő leolvasható az \(x\)-tengelyről. A második ábráról nem csak azt olvashatjuk le, hogy \(2\) óra alatt végzett a javítással a két csapat együtt, hanem azt is, hogy az \(A\) csapat az \(AT\) távot, azaz \(4\) km-t, a \(B\) csapat pedig a \(TB\) távot, azaz \(8\) km-t javított ki. Az \(A,\,B\) csapat sebességének az aránya \(v_A:v_B=2:4=1:2\), illetve az általuk kijavított út hossza \(s_A:s_B=4:8=1:2\).
Ha két test két különböző pontból egymás felé mozog, akkor:
  1. a sebességüket összeadva kapjuk meg a relatív sebességet,
  2. a kiinduló pontok közti \(s_{AB}\) távolságot a \(v_r\) relatív sebességgel felírt \(t=\dfrac{s_{AB}}{v_r}\) képlet alapján kapjuk meg,
  3. ha a két test sebessége \(v_A\) és \(v_B\), akkor a találkozásig, az általuk megtett út aránya \(s_A:s_b=v_A:v_B\), azaz a megtett út aránya megegyezik a sebességek arányával.
1 ... 2 3 4 5 6 7 8 ... 9
Vissza: Témakör

Kapcsolat

Dokumentumok

Pénzügyi Partnerünk

CIB Bank

Elfogadott kártyák

Bankkártyák

    Írj nekünk!



    Facebook Map-marker-alt

    Ügyfélszolgálat

    • Telefon: +36 30 427-6190
    • hétfő-péntek: 8:00-16:00
      Copyright © iMatek 2020-2024