iMatek

Központi matek felvételi iKurzus 8. osztályosoknak – bemutató

iKurzusok
iFeladatok

Hogyan fejleszthető a térlátás?

A központi középiskolai felvételi feladatokban a 9. példa általában térgeometriával kapcsolatos. Előfordul, hogy egy hasáb, téglatest vagy kocka felszínét, térfogatát kell kiszámítani, azonban sokkal gyakoribb, hogy egy összetett test felszínét vagy térfogatát kell meghatározni. Az összetett testek valamilyen elemi testekből, például kockákból vagy téglatestekből épülnek fel. A feladat lényege, hogy az összetett testet alkotó építő elemek egyes lapjait kell összeszámolni a felszínhez. A térfogat kiszámításához gyakori az alkotó elemek élhosszából, az összetett test élhosszának meghatározása.

Felszín - összetett testek

Felszín meghatározásának eszközei Megoldás Ábra
Körüljárás A testet képzeletben körbejárjuk és összesítjük, hogy az egyes irányokból mit láttunk. Figyelembe kell venni azt is, hogy lehetnek a nézőpontból láthatatlan oldalak is!
Átvilágítás Hasonló a körüljáráshoz, de csak három irányból nézzük meg a testet (elölről, fentről és oldalról). Az összeszámlálást a legkönnyebben az építőelemek egy-egy oldalára írt számmal könnyíthetjük meg, ahol a számok azt jelzik, hogy hányszoros oldalt takar az adott, látható lap.
Hiányzó elem hatása Ha az összetett testből csak néhány elem hiányzik, akkor célszerű lehet az összetett test felszínéből kiindulni és a hiányzó elemek \(+/-\) hatását vizsgálni.
Alkotó részek felszíne mínusz az illesztési felület Az előző módszer fordítottja is működhet. Az alkotó részek összesített felszínét számítjuk ki és kivonjuk az illesztésekkel takarásba kerülő felszínt.
Szeletelés Bonyolultabb öszetett testeket szeletekre vághatunk, megjegyezve az eredetileg látható részeket és szeletenként alkalmazzuk valamelyik fenti módszert.

Térfogat - összetett testek

Térfogat meghatározásának eszközei Megoldás Ábra
Szeletelés A testet képzeletben kisebb testekre vágjuk, amelyek térfogatát az építő elemekből, vagy valamely ismert test térfogatának képletéből könnyen meg tudunk határozni.
Kimetszés Az összetett testet képzeletben kiegészítjük, hogy egy ismert testet kapjunk, amelynek térfogatát könnyen meg tudjuk határozni, majt a levágott rész térfogatát kivonjuk.
Alkotó részek összeszámlálása és térfogatuk összegzése Ha az összetett test egybevágó testekből épül fel, akkor érdemes az alkotó részeket összeszámolni és térfogatukat összesíteni.

Körüljárás

Számítsd ki az ábrán látható test felszínét, amely 8 egybevágó kockából áll. A kockák teljes lapjukkal és hézag nélkül illeszkednek! A kocka élének hossza \(2\,cm\).

Körüljárás

A sárga síkidomok az adott irányból látható lapokat jelölik.
A lapok számát körüljárás módszerével határozzuk meg. A módszer használhatóságának a következő feltételei vannak:
  1. Minden határoló lap merőleges a nézet irányára, azaz semelyik irányból nincs olyan lap, amely “ferde” lenne.
  2. Nincsenek rejtett “zugok”, azaz minden irányból látjuk az összes lapot, amely merőleges a nézet irányára. Az egyes részek nem takarnak ki határoló lapot.
A test körül egy virtuális sétát teszünk, és minden oldalról összeszámoljuk a kis kockák látható lapjait. A lapok számlálását csak akkor végezhetjük el, ha pontosan “szemben állunk” és nincsenek ferde lapok, amelyet a fenti két feltételben fogalmaztunk meg pontosan. A fenti feltételek teljesülnek, így csak a sárga lapok számát kell összeszámolnunk, amelyek összege megegyezik az összetett test felszínével. A fenti feltételek teljesülése esetén az egymással szemközti nézetek megegyeznek, így elegendő három, páronként merőleges nézetből látható síkidomok területét összeadni, majd annak kétszeresét venni. Tekintsük a szemből látható, \(5\,db\) négyzetből álló \(L\) alakot, a fentről látható, \(6\,db\) négyzetből álló téglalapot és a jobbról látható, \(4\,db\) négyzetből álló fordított \(L\) alakot.
A fentieket összesítve \((5+6+4)\cdot 2=30\) négyzetet számolunk össze. Egy négyzet területe \(T_{négyzet}=2\cdot 2=4\,cm^2\). Tehát az összetett test felszíne \(A=30\cdot 4=120\,cm^2\)
Feladat

Átvilágítás

Számítsd ki az ábrán látható test felszínét, amely 12 egybevágó kockából áll. A kockák teljes lapjukkal és hézag nélkül illeszkednek! A kocka élének hossza \(1\,cm\).

Átvilágítás

A sárga síkidomok az adott irányból, a testet átvilágítva, vetületként látható lapokat jelölik.
A lapok számát az átvilágítás módszerével határozzuk meg. A módszer használhatóságának a következő feltétele van:
  1. Minden határoló lap merőleges a nézet irányára, azaz semelyik irányból nincs olyan lap, amely “ferde” lenne.
Fontos, hogy a körüljáráshoz képest kevesebb feltétel szükséges a módszer alkalmazásához, ugyanis nem várjuk el, hogy ne legyenek rejtett “zugok”. A módszer bonyolultabb testek esetén is alkalmazható, azonban több odafigyelést igényel. A módszer lényege, hogy a testet úgy képzeljük el, hogy átlátszó színes lapkból készült és ha egy fénysugárral átvilágítjuk, akkor ha több lapon halad át a fény, akkor a vetülete sötétebb lesz. Három, egymásra merőleges irányból kell elvégeznünk az átvilágítást és első lépésként megrajzolni a vetületet. A vetületen jelölnünk szükséges az alkotó elemek körvonalát, azaz a kis négyzeteket. Az utolsó lépés nagy odafigyelést kíván ugyanis minden egyes négyzetbe be kell írnunk, hogy hány lapon haladna át a képzeletbeli fénysugár. A fenti feltétel teljesül, így a sárga lapokba írt számokat kell összeadni, amely megegyezik az összetett test felületével. A legtöbb esetben \(2\)-es szám került a négyzetekbe, ugyanis ezekben az esetekben csak két lapon haladt át a fénysugár. A bal oldalon fordított \(L\) alakban találunk egy \(4\)-es számjegyet, ugyanis ebben a nézetben van egy rejtett zug, amely oldalról nézve nem látható (ezért nem alkalmazható a körüljárás módszere). A \(4\)-es számjegy azt jelzi, hogy ebben az esetben a fénysugár \(4\) lapon haladna át. A számjegyeket összeadva kapjuk az összetett test felszínét. A szemből látható alakzat esetén \(6\cdot 2=12\,db\), a fentről látható, \(9\,db\) négyzetből álló négyzet esetén \(9\cdot 2=18\,db\) és a jobbról látható fordított \(L\) alakzatban, \(4\cdot 2+4=12\,db\) a számok összege.
A fentieket összesítve \(12+18+12=42\) négyzetet számolunk össze. Egy négyzet területe \(T_{négyzet}=1\cdot 1=1\,cm^2\). Tehát az összetett test felszíne \(A=42\cdot 1=42\,cm^2\)
Feladat

Hiányzó elem hatása

Számítsd ki az ábrán látható test felszínét, amely 10 egybevágó kockából áll. A kockák teljes lapjukkal és hézag nélkül illeszkednek! A kocka élének hossza \(3\,cm\).

Hiányzó elem hatása

A színes síkidomok hatását vizsgáljuk az egyes elemek elvétele esetén.
A feladat megoldható lenne körüljárással is, ugyanis teljesülnek annak a módszernek a feltételei is. Ebben a részben azonban egy olyan módszert mutatunk be, amely akkor alkalmazható jól, ha egy összetett testet úgy kapunk meg, hogy egy egyszerű, ismert testből néhány elemet kivágunk. Az egyszerű test sokszor egy kocka vagy téglatest.
A lapok számát a hiányzó elemek hatásának módszerével határozzuk meg. A módszer használhatóságának a következő feltétele van:
  1. A hiányzó elem vagy elemek minden lapja párhuzamos legyen az összetett test valamely lapjával.
Fontos, hogy a körüljáráshoz képest kevesebb feltétel szükséges a módszer alkalmazásához, ugyanis nem várjuk el, hogy ne legyenek rejtett “zugok”. A módszer bonyolultabb testek esetén is alkalmazható, azonban több odafigyelést igényel. A módszer lényege, hogy az összetett testet kiegészítjük egy olyan testté, amelynek felszínét könnyen ki tudjuk számítani, amely a gyakorlatban legtöbbször kocka vagy téglatest. Ezt követően egy-egy részét eltávolítjuk a testnek mindaddig, míg az összetett testhez el nem jutunk. Minden egyes test eltávolításakor megvizsgáljuk, hogy milyen hatással van a maradék test felszínére.
A fenti feltétel teljesül, így az ábrán látható módon az összetett testet kiegészíthetjük egy téglatestté, amelynek felülete \((4+6+6)\cdot 2=32\,db\) kis négyzetlap. Először nézzük a felső sorban a jobb oldali kockát, amelynek eltávolításával a kékkel jelölt lap nem változtatja meg a test felszínét, azaz hatása semleges. Ugyanez igaz a mellette lévő kocka zöld lapjára. Természetesen mindkét kocka esetén jelölhettük volna a kék, illetve zöld lapokat együttesen, de a rajz egyszerűsítése miatt csak egy-egy esetben tettük meg. A narancssárga lapok esetén már más a helyzet. A két kis kocka eltávolításával a teljes test felszíne a két négyzet területével csökken.
A fentieket összesítve a téglatestté kiegészített test teljes felszíne \(32\) négyzetlap. A két kocka eltávolításával a test felszíne \(2\) négyzetlappal csökken, azaz az összetett test felszíne \(A=32-2=30\,db\) négyzetlap területével egyenlő. Egy négyzet területe \(T_{négyzet}=3\cdot 3=9\,cm^2\). Tehát az összetett test felszíne \(A=30\cdot 9=270\,cm^2\)
Feladat

Illeszkedés felületének kivonása

Számítsd ki az ábrán látható test felszínét, amely 5 egybevágó kockából áll. A kockák teljes lapjukkal és hézag nélkül illeszkednek! A kocka élének hossza \(1\,cm\).

Alkotó részek felszíne mínusz az illesztési felület

A narancssárga síkidomok hatását vizsgáljuk az egyes elemek összeragasztása esetén.
A feladat megoldható lenne átvilágítással is, ugyanis teljesülnek annak a módszernek a feltételei is. Ebben a részben azonban egy olyan módszert mutatunk be, amely akkor alkalmazható jól, ha egy összetett test bonyolult és érdemes részekre bontani.
A módszer használatóságának nincsenek feltételei, azonban csak abban az esetben érdemes ezt az utat követni, ha az alkotó testek felszínét és az érintkezési felületet könnyen meg tudjuk határozni.
A módszer bonyolultabb testek esetén is alkalmazható, azonban nagy odafigyelést igényel. A módszer lényege, hogy az összetett testet feldaraboljuk, lehetőleg egybevágó részekre, majd az alkotó elemek felületét meghatározzuk. Jelen esetben a testet \(5\) egybevágó kockára tudjuk feldarabolni, amelyek egyenként számított felülete \(A=6\,cm^2\).
Ezt követően számoljuk össze, hogy hány lapot ragasztunk össze, hogy az összetett testet megkapjuk. Az ábráról is leolvashatjuk, hogy \(5\) helyen kellett ragasztanunk, amely összesen \(10\) négyzetet érint, azaz ennyivel csökken az összetett test felszíne a különálló kockák felszínéhez képest. A ragasztásnál minden esetben érvényes, hogy egyszerre \(2\) oldalnyi felszínt “veszítünk el”.
A fentieket összesítve az öt különálló kocka \(5\cdot 6=30\,cm^2\) összesített felületéből le kell vonnunk a ragasztás során elveszített \(10\,cm^2\) felületet, azaz az összetett test felszíne \(A=30-10=20\,cm^2\).
Feladat

Szeletelés

Számítsd ki az ábrán látható test felszínét, amely 9 egybevágó kockából áll. A kockák teljes lapjukkal és hézag nélkül illeszkednek! A kocka élének hossza \(1\,cm\).

Szeletelés

A feladat megoldható lenne átvilágítással is, ugyanis teljesülnek annak a módszernek a feltételei is. Ebben a részben azonban egy olyan módszert mutatunk be, amely akkor alkalmazható jól, ha egy összetett test szerkezete bonyolult.
A módszer használhatóságának nincsenek feltételei. Önmagában a módszer nem alkalmazható, csak valamelyik előző módszerrel együttesen. Az összetett testet először felszeleteljük, majd az egyes részek felszínét megállapítjuk. Az utolsó rész mindig az összeillesztés, amikor a ragasztott felületek kivonására alkalmazható módszet mindenképpen alkalmaznunk kell.
A módszer bonyolultabb testek esetén is alkalmazható, azonban nagy odafigyelést igényel. A módszer lényege, hogy
  1. az összetett testet feldaraboljuk tetszőleges testekre,
  2. az előzőekben megismert valamelyik módszerrel meghatározzuk a felületét az egyes részeknek,
  3. összeillesztjük a darabokat és levonjuk az összeragasztott felületek nagyságát az összesített felületből.
A fenti módszer alapján (1) a testet az ábrán látható három részre vágjuk (két kocka és egy \(\bf I\) alakzat. (2a) A két kocka felszínét könnyen kiszámíthatjuk \(6\cdot 1=6\,cm^2\). (2b) A középső szelet felszínét akár az átvilágítás, akár a hiányzó elem hatásával kiszámíthatjuk. Ha a második módszert választjuk, akkor egy \(3×3\) kis kockából álló négyzet alapú hasábból veszünk el két kockát. A négyzetes hasáb felszíne \(2\cdot(9+3+3)=30\,cm^2\). Egy kis kocka elvételével a felszín nem változik, így a \(\bf I\) alakú szelet felszíne \(30\,cm^2\).
A (3) lépés a szeletek összeillesztése. A három szelet együttes felszíne \(6+6+30=42\,cm^2\). Az összeillesztéskor a két kis kockát ragasztjuk az \(\bf I\) alakú szeletre, amellyel összesen \(4\) négyzettel csökken a felszín, amelynek területe \(4\,cm^2\). Tehát, a test felszíne \(A=42-4=38\,cm^2\)
Feladat

Szeletelés - térfogat

Számítsd ki az ábrán látható test térfogatát, amely 9 egybevágó kockából és 4 lapátlók mentén kettévágott kockából áll. A kockák teljes lapjukkal és hézag nélkül illeszkednek! A kocka élének hossza \(2\,cm\).

Szeletelés

A szeletelés módszere sokkal egyszerűbb a térfogat számítás esetén, mint a felszínszámításkor bemutatott azonos nevű módszer A módszer használatóságának nincsenek feltételei. Az összetett testet először felszeleteljük, majd az egyes részek térfogatát kiszámítjuk. Végül az egyes részek térfogatát összeadjuk. A fenti módszer alapján (1) a testet az ábrán látható öt részre vágjuk. (2a) A négy félbe vágott kocka térfogatát könnyen kiszámíthatjuk \(4\cdot \dfrac{2^3}{2}=4\cdot 4=16\,cm^3\). (2b) Az alsó szelet egy \(3×3\) kis kockából álló négyzet alapú hasáb, amely térfogata \(6\cdot 6\cdot 2=72\,cm^3\).
Az összetett alakzat térfogata \(V=16+72=88\,cm^3\).
Feladat

Kimetszés - térfogat

Számítsd ki az ábrán látható test térfogatát, amely 4 egybevágó négyzetes hasábból áll. A hasábok hézag nélkül illeszkednek!

Kimetszés

A testet kiegészítjük úgy, hogy a négyzetes hasábot kapjunk, amely alaplapjának élhossza \(15\,cm\), a magassága pedig \(3\,cm\), amelynek térfogata \(15\cdot 15\cdot 3=675\,cm^3\). A módszer lényeges eleme, hogy a kiegészítés során a hozzáadatott test(ek) éleit meg tudjuk határozni. Jelen esetben a belső négyzetes hasáb alaplapjának az élhossza \(15-3-3=9\,cm\), amelyet halványan jelöltünk az ábrán. A belső hasáb térfogata \(9\cdot 9\cdot 3=243\,cm^3\)
Az összetett alakzat térfogata \(V=675-243=432\,cm^3\).
Feladat

Részek összeszámolása - térfogat

Számítsd ki az ábrán látható test térfogatát, amely 5 egybevágó kockából áll. A kockák teljes lapjukkal és hézag nélkül illeszkednek! A kocka élének hossza \(2\,cm\).

Részek összeszámlálása

Jelen esetben a térfogat meghatározása egyszerű, ugyanis egybevágó testekre tudjuk bontani az összetett testet. A módszernek akkor van nagyobb jelentősége, ha nem tudjuk egybevágó összetevőkre bontani az összetett alakzatot vagy “sok” egybevágó alakzatból áll. Egy kis kocka térfogata \(2^3=8\,cm^3\)
Tehát, az összetett alakzat térfogata \(V=5\cdot 8=40\,cm^3\).
Feladat

8. osztályos iMatek előfizetések

1 ... 2 3 4 5 6 7 8 ... 9
Vissza: Témakör
Következő Feladatsor

Most kedvező áron az előkészítő csomag

2023 iFeladatok I.

Interaktív feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
4.590 Ft 2022/23 tanévre
  • 20 iFeladat automatikus javítással
  • 19 témakör
  • 121 megoldási lépés
  • Megoldássegítő felépítés
  • 2,15 átlagos nehézség (1-3 skálán)
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

2023 Emelt szintű
matematika előkészítő

Kidolgozott feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
59.900 Ft 2022/23 tanévre
  • 25 kidolgozott témakör
  • Több mint 200 kidolgozott példa
  • 13 interaktív feladatsor
  • 21 elméleti összefoglaló
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelményekkel kiegészítve
  • 25 szóbeli tétel - teljes tételsor
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei

2023 Középszintű matematika kurzusok

Tananyag középszintű matematika felkészüléshez
1.750 Ft 2022/23 tanévre, kurzusonként
  • Témakörönkénti előfizetés
  • Megértést segítő magyarázat
  • Definíciók, tételek
  • Kidolgozott típuspéldák
  • Online feladatok, azonnali javítással
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelmények alapján
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el
Előfizetés részletei