Szóbeli tétel minta – Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek…

iKurzusok
iFeladatok

I. ÖSSZEFOGLALÓ

Az egyenlet és néhány hozzá kapcsolódó definíció után a másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszereit írjuk le. A másodfokúra visszavezethető egyenleteket új ismeretlen bevezetésével külön vizsgáljuk. A gyakori hibák, mint a hamis gyök vagy gyökvesztés elméleti hátterét is áttekintjük ebben a fejezetben, amelynek egyszerű elkerülése az egyenlet eredményének ellenőrzése. Az egyenletek ekvivalenciája kulcsszerepet játszik a megoldások során.

II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

\(\pmb{Definíció:}\)
Az egyenlet bármely két egyenlőségjellel összekötött algebrai kifejezés, amelyek közül legalább az egyikben változó, ismeretlen is szerepel. Az egyenlet olyan változótól függő állítás (nyitott mondat), amelynek az alaphalmaza számhalmaz. (Az egyenleteket definiálhatjuk úgy is, hogy az egyenlet két oldalát függvények alkotják \(f(x)=g(x)\).)
\(\pmb{Definíció:}\)
Alaphalmaznak nevezzük az ismeretlenek azon lehetséges értékeinek a halmazát, amelyek között a megoldás(oka)t keressük. Ha erre a feladat vagy a probléma jellege nem utal, akkor alaphalmaznak a valós számokat tekintjük.
\(\pmb{Definíció:}\)
Az egyenlet értelmezési tartománya az alaphalmaz azon elemeinek a legbővebb részhalmaza, amelyekre az egyenletben szereplő kifejezések értelmezhetőek.
\(\pmb{Definíció:}\)
Az egyenlet megoldása(i) vagy gyöke(i) az értelmezési tartománynak az(on) eleme(i), amely(ek)re az egyenlőség teljesül. Ezeknek az értékeknek a halmazát megoldáshalmaznak nevezzük.
\(\pmb{Definíció:}\)
Ha az egyenlet megoldáshalmaza megegyezik az egyenlet értelmezési tartományával, akkor azonosságnak nevezzük.

Az egyenletek megoldásának módszerei

Grafikus megoldás
Az egyenlet két oldalát (a definíció értelmében) kezeljük függvényekként, azaz az egyenlet felírható \(f(x)=g(x)\) alakban. A két függvényt koordináta-rendszerben ábrázolva meghatározhatjuk a két függvény közös pontjait. A közös pontok első koordinátái adják az egyenlet megoldásait. Speciális esetben az egyenlet egyik oldalán szereplő függvény konstans \(0\), azaz \(g(x)=0\). Ebben az esetben az \(f(x)\) függvény \(x\)-tengellyel vett közös pontjait keressük.
Az egyenlet rendezése, mérlegelv használata
Az egyenlet mindkét oldalán azonos átalakításokat végzünk oly módon, hogy az átalakítás után az egyenlet értelmezési tartomány és megoldáshalmaza nem változik – ekvivalens átalakítás.
Szorzattá alakítás
Az egyenletet \(f(x)=0\) alakba rendezzük, és a bal oldalát tényezőkre bontjuk, szorzattá alakítjuk. A szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így egy egyszerűbb, alacsonyabb fokú egyenlet megoldására vezethető vissza a feladat.
Új ismeretlen bevezetése
Összetett kifejezéseket tartalmazó egyenletek esetén egy-egy kifejezést helyettesíthetünk új ismeretlen bevezetésével és az egyszerűsített egyenlet megoldásával kereshetjük meg az eredeti egyenlet megoldásait is. Az új ismeretlenek értelmezési tartományára mindig legyünk tekintettel (amely megegyezik a helyettesítendő kifejezésével), mert ennek figyelmen kívül hagyása hamis gyökökhöz, vagy gyökvesztéshez vezethet.

Másodfokú egyismeretlenes egyenlet

\(\pmb{Definíció:}\)
Minden egyismeretlenes másodfokú egyenlet \(ax^2+bx+c=0\) alakra hozható, ahol \(a,\,b\,c\in\mathbb{R}\) és \(a\ne0\).
A másodfokú egyismeretlenes egyenletek megoldása történhet szorzattá alakítással, megoldó képlettel, teljes négyzetté alakítással, illetve Viète-formulával
\(\pmb{Tétel:}\)
Az \(ax^2+bx+c=0\), \((a,\,b,\,c\in\mathbb{R},\, a\ne 0)\) egyenlet gyökeit a következő megoldóképlettel határozhatjuk meg: \[ \begin{aligned} x_{1,\,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\quad\text{ahol}\, b^2-4ac\ge0 \end{aligned}\notag \]
\(\pmb{Bizonyítás:}\)
\[ \begin{aligned} ax^2+bx+c&=0\quad/\cdot4a\\ 4a^2x^2+4abx+4ac&=0 \end{aligned}\notag \] Teljes négyzetté alakítjuk, majd rendezzük az egyenletet: \[ \begin{aligned} (2ax+b)^2-b^2+4ac&=0\\ (2ax+b)^2&=b^2-4ac\\ \end{aligned}\notag \] A bal oldalon található kifejezés egy négyzetszám, azaz nem lehet negatív, amelyből következik, hogy \(b^2-4ac\ge0\). A feltétel teljesülése esetén, mindkét oldalból négyzetgyököt vonhatunk. \[ \begin{aligned} |2ax+b|&=\sqrt{b^2-4ac}\\ 2ax+b&=\pm\sqrt{b^2-4ac}\\ 2ax&=-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\\ x_{1,\,2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad\square\\ \end{aligned}\notag \]
\(\pmb{Definíció:}\)
Az \(ax^2+bx+c=0\), \((a,\,b,\,c\in\mathbb{R},\, a\ne 0)\) egyenlet diszkriminánsa \(D=b^2-4ac\)
A diszkrimináns meghatározza, hogy a másodfokú egyenletnek milyen típusúak a gyökei.
Ha \(D>0\), akkor két különböző valós gyöke van az egyenletnek.
Ha \(D=0\), akkor két egymással egyenlő valós gyöke van az egyenletnek. Ezt az esetet tekinthetjük úgy, hogy egy valódi gyöke van az egyenletek.
Ha \(D<0\), akkor az egyenletnek nincs valós gyöke.
\(\pmb{Tétel:}\)
Másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja. Ha az \(ax^2+bx+c=0\), \((a,\,b,\,c\in\mathbb{R},\, a\ne 0)\) egyenletnek két megoldása van \(x_1\) és \(x_2\) a valós számok halmazán (azaz \(D\ge0\)), akkor minden \(x\in\mathbb{R}\) számra teljesül, hogy \[ \begin{aligned} ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\qquad\square \end{aligned}\notag \]
\(\pmb{Tétel:}\)
Viète-formulák, másodfokú egyenletek megoldásai és együtthatói közti összefüggések. Ha az \(ax^2+bx+c=0\), \((a,\,b,\,c\in\mathbb{R},\, a\ne 0)\) és \(D\ge0\), akkor az egyenlet gyökeire teljetül: \[ \begin{aligned} x_1+x_2=\frac{-b}{a},\quad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a} \qquad\square \end{aligned}\notag \]

Parabola

Tekintsük az \(f(x)=ax^2+bx+c\), \((a,\,b,\,c\in\mathbb{R},\, a\ne 0)\) függvényt, amelynek koordináta-rendszerbeli képe egy parabola. A parabola zérushelyei az \(ax^2+bx+c=0\) egyenlet valós megoldásait adják, amennyiben léteznek. A parabola \(p\) paramétere és \(T(u,\,v)\) tengelypontja is meghatározható az \(a,\,b,\,c\) paraméterek segítségével. Az \(f(x)=\frac{1}{2p}(x-u)^2+v\) alakban felírt parabola tartalmazza a paramétert és a tengelypont koordinátáit, így az általános alakú másodfokú kifejezést alakítsuk át az alábbiak szerint.
\[ \begin{aligned} f(x)=ax^2+bx+c=a\bigg(x^2+\frac{b}{a}x\bigg)+c=a\Bigg(\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2-\frac{b^2}{4a^2}\Bigg)+c=a\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2+\frac{4ac-b^2}{4a} \end{aligned}\notag \]
\(p=\frac{1}{2a}\) a parabola paramétere, \(T\Big(\frac{b}{2a},\,\frac{4ac-b^2}{4a}\Big)\) pedig a tengelypontja.

Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása

Minden másodfokú egyenlőtlenség az alábbiakban felírt alakok valamelyikébe rendezhető \[ \begin{aligned} ax^2+bx+c&<0\\ ax^2+bx+c&>0\\ ax^2+bx+c&\ge 0\\ ax^2+bx+c&\le 0\\ \end{aligned}\notag \] Az \(ax^2+bx+c=0\) egyenletet gyökeit meghatározva, az egyenlőtlenségek megoldásait már meg tudjuk határozni. Gyakran segítségünkre lehet a grafikus ábrázolás, amely segít a relációk pontos meghatározásában.

Új ismeretlen bevezetésével másodfokúra visszavezethető egyenletek

Leggyakrabban az alábbi egyenleteknél szokás új ismeretlent bevezetni annak érdekében, hogy visszavezessük másodfokú egyenletre (a zárójelben az egyenletek mellett megtalálható az új ismeretlen).
\[ \begin{aligned} ax^{10}+bx^5+c&=0&\qquad(y=x^5)\\ a(x+2)^2+b(x+2)+c&=0&\qquad(y=x+2)\\ a\cdot(x-1)+b\cdot\sqrt{x-1}+c&=0&\qquad(y=\sqrt{x-1})\\ a\cdot 3^{2x}+b\cdot 3^x+c&=0&\qquad(y=3^x)\\ a\cdot\log^2x+b\cdot\log x+c&=0&\qquad(y=\log x)\\ a\cdot\sin^2x+b\cdot\sin x+c&=0&\qquad(y=\sin x)\\ \end{aligned}\notag \]

Egyenletek ekvivalenciája

\(\pmb{Definíció:}\)
Két egyenletet ekvivalensnek nevezünk, ha azok alaphalmaza és megoldáshalmaza is azonos.

Az egyenletek megoldása során törekszünk az ekvivalens átalakításokra, azaz arra, hogy a kiinduló és az átalakított egyenlet ekvivalens legyen. Előfordul, hogy a megoldás során nincs lehetőség ekvivalens átalakításra. Ilyen esetben figyelnünk kell, hogy az értelmezési tartomány, vagy az értékkészlet hogyan változik meg, illetve milyen feltételek mellett fogadhatjuk el az átalakítást. A nem ekvivalens átalakítások veszélye a gyökvesztés, vagy a hamis gyök megjelenése.

Gyökvesztés

Ne osszunk ismeretlent tartalmazó kifejezéssel! Helyette emeljük ki ezt a kifejezést, alakítsunk szorzattá.

Ne alkalmazzunk olyan azonosságokat, amelyek ismeretlent tartalmaznak és az értelmezési tartomány változhat. Pl.: \(\log x^2=2\cdot\log x\), azonban a bal oldali kifejezés értelmezési tartománya \(D_1=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), a jobb oldali kifejezés értelmezési tartománya \(D_2=\mathbb{R}^+\).

Hamis gyök

A négyzetre emelés megváltoztathatja az értékkészletet pl. a \(tg\,x\) értékkészlete \(\mathbb{R}\), a \(\sqrt{x}\) kifejezésé \([0;\,\infty)\), azonban ezek négyzetre emelése esetén a \(tg^2 x\) értékkészlete \([0;\,\infty)\) vagy a \((\sqrt{x})^2=x\) értékkészlete \(\mathbb{R}\)-re változott.
Ha az egyenlet átalakítása során ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk pl. \(\sqrt{x}\)-szel, akkor bővülhet az értelmezési tartomány. \[ \begin{aligned} x\sqrt{x}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\quad/\cdot\sqrt{x}\\ x^2&=1\\ x_{1,\,2}&=\pm 1 \end{aligned}\notag \] Az eredeti egyenletnek \(x=-1\) nem gyöke.
Ha olyan átalakítást végzünk, amely bővíti az alaphalmazt, akkor hamis gyök keletkezhet. \[ \begin{aligned} 2\log_{10} x&=2\\ \log_{10} x^2&=\log_{10} 100\\ x^2&=100\\ x_{1,\,2}&=\pm10 \end{aligned}\notag \] \(x=-10\) nem megoldása az eredeti egyenletnek, mert nem eleme az értelmezési tartománynak. A hamis gyököt a logaritmus azonossága okozta, amely csak \(x\in\mathbb{R}^+\) számok esetén igaz.

Ellenőrzés

Az egyenletek megoldását követően a kapott gyököket behelyettesítve ellenőrizzük azok helyességét. Ezzel akár a számolási hibákra, akár hamis gyökökre fény derülhet.

Most kedvező áron az előkészítő csomag

2023 iFeladatok I.

Interaktív feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
4.590 Ft 2022/23 tanévre
  • 20 iFeladat automatikus javítással
  • 19 témakör
  • 121 megoldási lépés
  • Megoldássegítő felépítés
  • 2,15 átlagos nehézség (1-3 skálán)
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el

2023 Emelt szintű
matematika előkészítő

Kidolgozott feladatok felvételire és emelt szintű érettségire
59.900 Ft 2022/23 tanévre
  • 25 kidolgozott témakör
  • Több mint 200 kidolgozott példa
  • 13 interaktív feladatsor
  • 21 elméleti összefoglaló
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelményekkel kiegészítve
  • 25 szóbeli tétel - teljes tételsor
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el

2023 Középszintű matematika kurzusok

Tananyag középszintű matematika felkészüléshez
1.750 Ft 2022/23 tanévre, kurzusonként
  • Témakörönkénti előfizetés
  • Megértést segítő magyarázat
  • Definíciók, tételek
  • Kidolgozott típuspéldák
  • Online feladatok, azonnali javítással
  • Felkészülés folyamatos követése, naplózása
  • 2024-től érvényes követelmények alapján
  • A tananyag 2023. június 30-ig érhető el